-0,000 282 020 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 020 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 020 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 020 3| = 0,000 282 020 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 020 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 020 3 × 2 = 0 + 0,000 564 040 6;
  • 2) 0,000 564 040 6 × 2 = 0 + 0,001 128 081 2;
  • 3) 0,001 128 081 2 × 2 = 0 + 0,002 256 162 4;
  • 4) 0,002 256 162 4 × 2 = 0 + 0,004 512 324 8;
  • 5) 0,004 512 324 8 × 2 = 0 + 0,009 024 649 6;
  • 6) 0,009 024 649 6 × 2 = 0 + 0,018 049 299 2;
  • 7) 0,018 049 299 2 × 2 = 0 + 0,036 098 598 4;
  • 8) 0,036 098 598 4 × 2 = 0 + 0,072 197 196 8;
  • 9) 0,072 197 196 8 × 2 = 0 + 0,144 394 393 6;
  • 10) 0,144 394 393 6 × 2 = 0 + 0,288 788 787 2;
  • 11) 0,288 788 787 2 × 2 = 0 + 0,577 577 574 4;
  • 12) 0,577 577 574 4 × 2 = 1 + 0,155 155 148 8;
  • 13) 0,155 155 148 8 × 2 = 0 + 0,310 310 297 6;
  • 14) 0,310 310 297 6 × 2 = 0 + 0,620 620 595 2;
  • 15) 0,620 620 595 2 × 2 = 1 + 0,241 241 190 4;
  • 16) 0,241 241 190 4 × 2 = 0 + 0,482 482 380 8;
  • 17) 0,482 482 380 8 × 2 = 0 + 0,964 964 761 6;
  • 18) 0,964 964 761 6 × 2 = 1 + 0,929 929 523 2;
  • 19) 0,929 929 523 2 × 2 = 1 + 0,859 859 046 4;
  • 20) 0,859 859 046 4 × 2 = 1 + 0,719 718 092 8;
  • 21) 0,719 718 092 8 × 2 = 1 + 0,439 436 185 6;
  • 22) 0,439 436 185 6 × 2 = 0 + 0,878 872 371 2;
  • 23) 0,878 872 371 2 × 2 = 1 + 0,757 744 742 4;
  • 24) 0,757 744 742 4 × 2 = 1 + 0,515 489 484 8;
  • 25) 0,515 489 484 8 × 2 = 1 + 0,030 978 969 6;
  • 26) 0,030 978 969 6 × 2 = 0 + 0,061 957 939 2;
  • 27) 0,061 957 939 2 × 2 = 0 + 0,123 915 878 4;
  • 28) 0,123 915 878 4 × 2 = 0 + 0,247 831 756 8;
  • 29) 0,247 831 756 8 × 2 = 0 + 0,495 663 513 6;
  • 30) 0,495 663 513 6 × 2 = 0 + 0,991 327 027 2;
  • 31) 0,991 327 027 2 × 2 = 1 + 0,982 654 054 4;
  • 32) 0,982 654 054 4 × 2 = 1 + 0,965 308 108 8;
  • 33) 0,965 308 108 8 × 2 = 1 + 0,930 616 217 6;
  • 34) 0,930 616 217 6 × 2 = 1 + 0,861 232 435 2;
  • 35) 0,861 232 435 2 × 2 = 1 + 0,722 464 870 4;
  • 36) 0,722 464 870 4 × 2 = 1 + 0,444 929 740 8;
  • 37) 0,444 929 740 8 × 2 = 0 + 0,889 859 481 6;
  • 38) 0,889 859 481 6 × 2 = 1 + 0,779 718 963 2;
  • 39) 0,779 718 963 2 × 2 = 1 + 0,559 437 926 4;
  • 40) 0,559 437 926 4 × 2 = 1 + 0,118 875 852 8;
  • 41) 0,118 875 852 8 × 2 = 0 + 0,237 751 705 6;
  • 42) 0,237 751 705 6 × 2 = 0 + 0,475 503 411 2;
  • 43) 0,475 503 411 2 × 2 = 0 + 0,951 006 822 4;
  • 44) 0,951 006 822 4 × 2 = 1 + 0,902 013 644 8;
  • 45) 0,902 013 644 8 × 2 = 1 + 0,804 027 289 6;
  • 46) 0,804 027 289 6 × 2 = 1 + 0,608 054 579 2;
  • 47) 0,608 054 579 2 × 2 = 1 + 0,216 109 158 4;
  • 48) 0,216 109 158 4 × 2 = 0 + 0,432 218 316 8;
  • 49) 0,432 218 316 8 × 2 = 0 + 0,864 436 633 6;
  • 50) 0,864 436 633 6 × 2 = 1 + 0,728 873 267 2;
  • 51) 0,728 873 267 2 × 2 = 1 + 0,457 746 534 4;
  • 52) 0,457 746 534 4 × 2 = 0 + 0,915 493 068 8;
  • 53) 0,915 493 068 8 × 2 = 1 + 0,830 986 137 6;
  • 54) 0,830 986 137 6 × 2 = 1 + 0,661 972 275 2;
  • 55) 0,661 972 275 2 × 2 = 1 + 0,323 944 550 4;
  • 56) 0,323 944 550 4 × 2 = 0 + 0,647 889 100 8;
  • 57) 0,647 889 100 8 × 2 = 1 + 0,295 778 201 6;
  • 58) 0,295 778 201 6 × 2 = 0 + 0,591 556 403 2;
  • 59) 0,591 556 403 2 × 2 = 1 + 0,183 112 806 4;
  • 60) 0,183 112 806 4 × 2 = 0 + 0,366 225 612 8;
  • 61) 0,366 225 612 8 × 2 = 0 + 0,732 451 225 6;
  • 62) 0,732 451 225 6 × 2 = 1 + 0,464 902 451 2;
  • 63) 0,464 902 451 2 × 2 = 0 + 0,929 804 902 4;
  • 64) 0,929 804 902 4 × 2 = 1 + 0,859 609 804 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 020 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 0011 1111 0111 0001 1110 0110 1110 1010 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 020 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 0011 1111 0111 0001 1110 0110 1110 1010 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 020 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 0011 1111 0111 0001 1110 0110 1110 1010 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 0011 1111 0111 0001 1110 0110 1110 1010 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1000 0011 1111 0111 0001 1110 0110 1110 1010 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1000 0011 1111 0111 0001 1110 0110 1110 1010 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1000 0011 1111 0111 0001 1110 0110 1110 1010 0101 =

0010 0111 1011 1000 0011 1111 0111 0001 1110 0110 1110 1010 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1000 0011 1111 0111 0001 1110 0110 1110 1010 0101


Numărul zecimal -0,000 282 020 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1000 0011 1111 0111 0001 1110 0110 1110 1010 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 018 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100