-0,000 282 020 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 020 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 020 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 020 7| = 0,000 282 020 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 020 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 020 7 × 2 = 0 + 0,000 564 041 4;
  • 2) 0,000 564 041 4 × 2 = 0 + 0,001 128 082 8;
  • 3) 0,001 128 082 8 × 2 = 0 + 0,002 256 165 6;
  • 4) 0,002 256 165 6 × 2 = 0 + 0,004 512 331 2;
  • 5) 0,004 512 331 2 × 2 = 0 + 0,009 024 662 4;
  • 6) 0,009 024 662 4 × 2 = 0 + 0,018 049 324 8;
  • 7) 0,018 049 324 8 × 2 = 0 + 0,036 098 649 6;
  • 8) 0,036 098 649 6 × 2 = 0 + 0,072 197 299 2;
  • 9) 0,072 197 299 2 × 2 = 0 + 0,144 394 598 4;
  • 10) 0,144 394 598 4 × 2 = 0 + 0,288 789 196 8;
  • 11) 0,288 789 196 8 × 2 = 0 + 0,577 578 393 6;
  • 12) 0,577 578 393 6 × 2 = 1 + 0,155 156 787 2;
  • 13) 0,155 156 787 2 × 2 = 0 + 0,310 313 574 4;
  • 14) 0,310 313 574 4 × 2 = 0 + 0,620 627 148 8;
  • 15) 0,620 627 148 8 × 2 = 1 + 0,241 254 297 6;
  • 16) 0,241 254 297 6 × 2 = 0 + 0,482 508 595 2;
  • 17) 0,482 508 595 2 × 2 = 0 + 0,965 017 190 4;
  • 18) 0,965 017 190 4 × 2 = 1 + 0,930 034 380 8;
  • 19) 0,930 034 380 8 × 2 = 1 + 0,860 068 761 6;
  • 20) 0,860 068 761 6 × 2 = 1 + 0,720 137 523 2;
  • 21) 0,720 137 523 2 × 2 = 1 + 0,440 275 046 4;
  • 22) 0,440 275 046 4 × 2 = 0 + 0,880 550 092 8;
  • 23) 0,880 550 092 8 × 2 = 1 + 0,761 100 185 6;
  • 24) 0,761 100 185 6 × 2 = 1 + 0,522 200 371 2;
  • 25) 0,522 200 371 2 × 2 = 1 + 0,044 400 742 4;
  • 26) 0,044 400 742 4 × 2 = 0 + 0,088 801 484 8;
  • 27) 0,088 801 484 8 × 2 = 0 + 0,177 602 969 6;
  • 28) 0,177 602 969 6 × 2 = 0 + 0,355 205 939 2;
  • 29) 0,355 205 939 2 × 2 = 0 + 0,710 411 878 4;
  • 30) 0,710 411 878 4 × 2 = 1 + 0,420 823 756 8;
  • 31) 0,420 823 756 8 × 2 = 0 + 0,841 647 513 6;
  • 32) 0,841 647 513 6 × 2 = 1 + 0,683 295 027 2;
  • 33) 0,683 295 027 2 × 2 = 1 + 0,366 590 054 4;
  • 34) 0,366 590 054 4 × 2 = 0 + 0,733 180 108 8;
  • 35) 0,733 180 108 8 × 2 = 1 + 0,466 360 217 6;
  • 36) 0,466 360 217 6 × 2 = 0 + 0,932 720 435 2;
  • 37) 0,932 720 435 2 × 2 = 1 + 0,865 440 870 4;
  • 38) 0,865 440 870 4 × 2 = 1 + 0,730 881 740 8;
  • 39) 0,730 881 740 8 × 2 = 1 + 0,461 763 481 6;
  • 40) 0,461 763 481 6 × 2 = 0 + 0,923 526 963 2;
  • 41) 0,923 526 963 2 × 2 = 1 + 0,847 053 926 4;
  • 42) 0,847 053 926 4 × 2 = 1 + 0,694 107 852 8;
  • 43) 0,694 107 852 8 × 2 = 1 + 0,388 215 705 6;
  • 44) 0,388 215 705 6 × 2 = 0 + 0,776 431 411 2;
  • 45) 0,776 431 411 2 × 2 = 1 + 0,552 862 822 4;
  • 46) 0,552 862 822 4 × 2 = 1 + 0,105 725 644 8;
  • 47) 0,105 725 644 8 × 2 = 0 + 0,211 451 289 6;
  • 48) 0,211 451 289 6 × 2 = 0 + 0,422 902 579 2;
  • 49) 0,422 902 579 2 × 2 = 0 + 0,845 805 158 4;
  • 50) 0,845 805 158 4 × 2 = 1 + 0,691 610 316 8;
  • 51) 0,691 610 316 8 × 2 = 1 + 0,383 220 633 6;
  • 52) 0,383 220 633 6 × 2 = 0 + 0,766 441 267 2;
  • 53) 0,766 441 267 2 × 2 = 1 + 0,532 882 534 4;
  • 54) 0,532 882 534 4 × 2 = 1 + 0,065 765 068 8;
  • 55) 0,065 765 068 8 × 2 = 0 + 0,131 530 137 6;
  • 56) 0,131 530 137 6 × 2 = 0 + 0,263 060 275 2;
  • 57) 0,263 060 275 2 × 2 = 0 + 0,526 120 550 4;
  • 58) 0,526 120 550 4 × 2 = 1 + 0,052 241 100 8;
  • 59) 0,052 241 100 8 × 2 = 0 + 0,104 482 201 6;
  • 60) 0,104 482 201 6 × 2 = 0 + 0,208 964 403 2;
  • 61) 0,208 964 403 2 × 2 = 0 + 0,417 928 806 4;
  • 62) 0,417 928 806 4 × 2 = 0 + 0,835 857 612 8;
  • 63) 0,835 857 612 8 × 2 = 1 + 0,671 715 225 6;
  • 64) 0,671 715 225 6 × 2 = 1 + 0,343 430 451 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 020 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 0101 1010 1110 1110 1100 0110 1100 0100 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 020 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 0101 1010 1110 1110 1100 0110 1100 0100 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 020 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 0101 1010 1110 1110 1100 0110 1100 0100 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 0101 1010 1110 1110 1100 0110 1100 0100 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1000 0101 1010 1110 1110 1100 0110 1100 0100 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1000 0101 1010 1110 1110 1100 0110 1100 0100 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1000 0101 1010 1110 1110 1100 0110 1100 0100 0011 =

0010 0111 1011 1000 0101 1010 1110 1110 1100 0110 1100 0100 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1000 0101 1010 1110 1110 1100 0110 1100 0100 0011


Numărul zecimal -0,000 282 020 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1000 0101 1010 1110 1110 1100 0110 1100 0100 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 029 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100