-0,000 282 021 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 021 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 021 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 021 9| = 0,000 282 021 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 021 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 021 9 × 2 = 0 + 0,000 564 043 8;
  • 2) 0,000 564 043 8 × 2 = 0 + 0,001 128 087 6;
  • 3) 0,001 128 087 6 × 2 = 0 + 0,002 256 175 2;
  • 4) 0,002 256 175 2 × 2 = 0 + 0,004 512 350 4;
  • 5) 0,004 512 350 4 × 2 = 0 + 0,009 024 700 8;
  • 6) 0,009 024 700 8 × 2 = 0 + 0,018 049 401 6;
  • 7) 0,018 049 401 6 × 2 = 0 + 0,036 098 803 2;
  • 8) 0,036 098 803 2 × 2 = 0 + 0,072 197 606 4;
  • 9) 0,072 197 606 4 × 2 = 0 + 0,144 395 212 8;
  • 10) 0,144 395 212 8 × 2 = 0 + 0,288 790 425 6;
  • 11) 0,288 790 425 6 × 2 = 0 + 0,577 580 851 2;
  • 12) 0,577 580 851 2 × 2 = 1 + 0,155 161 702 4;
  • 13) 0,155 161 702 4 × 2 = 0 + 0,310 323 404 8;
  • 14) 0,310 323 404 8 × 2 = 0 + 0,620 646 809 6;
  • 15) 0,620 646 809 6 × 2 = 1 + 0,241 293 619 2;
  • 16) 0,241 293 619 2 × 2 = 0 + 0,482 587 238 4;
  • 17) 0,482 587 238 4 × 2 = 0 + 0,965 174 476 8;
  • 18) 0,965 174 476 8 × 2 = 1 + 0,930 348 953 6;
  • 19) 0,930 348 953 6 × 2 = 1 + 0,860 697 907 2;
  • 20) 0,860 697 907 2 × 2 = 1 + 0,721 395 814 4;
  • 21) 0,721 395 814 4 × 2 = 1 + 0,442 791 628 8;
  • 22) 0,442 791 628 8 × 2 = 0 + 0,885 583 257 6;
  • 23) 0,885 583 257 6 × 2 = 1 + 0,771 166 515 2;
  • 24) 0,771 166 515 2 × 2 = 1 + 0,542 333 030 4;
  • 25) 0,542 333 030 4 × 2 = 1 + 0,084 666 060 8;
  • 26) 0,084 666 060 8 × 2 = 0 + 0,169 332 121 6;
  • 27) 0,169 332 121 6 × 2 = 0 + 0,338 664 243 2;
  • 28) 0,338 664 243 2 × 2 = 0 + 0,677 328 486 4;
  • 29) 0,677 328 486 4 × 2 = 1 + 0,354 656 972 8;
  • 30) 0,354 656 972 8 × 2 = 0 + 0,709 313 945 6;
  • 31) 0,709 313 945 6 × 2 = 1 + 0,418 627 891 2;
  • 32) 0,418 627 891 2 × 2 = 0 + 0,837 255 782 4;
  • 33) 0,837 255 782 4 × 2 = 1 + 0,674 511 564 8;
  • 34) 0,674 511 564 8 × 2 = 1 + 0,349 023 129 6;
  • 35) 0,349 023 129 6 × 2 = 0 + 0,698 046 259 2;
  • 36) 0,698 046 259 2 × 2 = 1 + 0,396 092 518 4;
  • 37) 0,396 092 518 4 × 2 = 0 + 0,792 185 036 8;
  • 38) 0,792 185 036 8 × 2 = 1 + 0,584 370 073 6;
  • 39) 0,584 370 073 6 × 2 = 1 + 0,168 740 147 2;
  • 40) 0,168 740 147 2 × 2 = 0 + 0,337 480 294 4;
  • 41) 0,337 480 294 4 × 2 = 0 + 0,674 960 588 8;
  • 42) 0,674 960 588 8 × 2 = 1 + 0,349 921 177 6;
  • 43) 0,349 921 177 6 × 2 = 0 + 0,699 842 355 2;
  • 44) 0,699 842 355 2 × 2 = 1 + 0,399 684 710 4;
  • 45) 0,399 684 710 4 × 2 = 0 + 0,799 369 420 8;
  • 46) 0,799 369 420 8 × 2 = 1 + 0,598 738 841 6;
  • 47) 0,598 738 841 6 × 2 = 1 + 0,197 477 683 2;
  • 48) 0,197 477 683 2 × 2 = 0 + 0,394 955 366 4;
  • 49) 0,394 955 366 4 × 2 = 0 + 0,789 910 732 8;
  • 50) 0,789 910 732 8 × 2 = 1 + 0,579 821 465 6;
  • 51) 0,579 821 465 6 × 2 = 1 + 0,159 642 931 2;
  • 52) 0,159 642 931 2 × 2 = 0 + 0,319 285 862 4;
  • 53) 0,319 285 862 4 × 2 = 0 + 0,638 571 724 8;
  • 54) 0,638 571 724 8 × 2 = 1 + 0,277 143 449 6;
  • 55) 0,277 143 449 6 × 2 = 0 + 0,554 286 899 2;
  • 56) 0,554 286 899 2 × 2 = 1 + 0,108 573 798 4;
  • 57) 0,108 573 798 4 × 2 = 0 + 0,217 147 596 8;
  • 58) 0,217 147 596 8 × 2 = 0 + 0,434 295 193 6;
  • 59) 0,434 295 193 6 × 2 = 0 + 0,868 590 387 2;
  • 60) 0,868 590 387 2 × 2 = 1 + 0,737 180 774 4;
  • 61) 0,737 180 774 4 × 2 = 1 + 0,474 361 548 8;
  • 62) 0,474 361 548 8 × 2 = 0 + 0,948 723 097 6;
  • 63) 0,948 723 097 6 × 2 = 1 + 0,897 446 195 2;
  • 64) 0,897 446 195 2 × 2 = 1 + 0,794 892 390 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 021 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 1010 1101 0110 0101 0110 0110 0101 0001 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 021 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 1010 1101 0110 0101 0110 0110 0101 0001 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 021 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 1010 1101 0110 0101 0110 0110 0101 0001 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 1010 1101 0110 0101 0110 0110 0101 0001 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1000 1010 1101 0110 0101 0110 0110 0101 0001 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1000 1010 1101 0110 0101 0110 0110 0101 0001 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1000 1010 1101 0110 0101 0110 0110 0101 0001 1011 =

0010 0111 1011 1000 1010 1101 0110 0101 0110 0110 0101 0001 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1000 1010 1101 0110 0101 0110 0110 0101 0001 1011


Numărul zecimal -0,000 282 021 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1000 1010 1101 0110 0101 0110 0110 0101 0001 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 026 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100