-0,000 282 022 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 022 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 022 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 022 1| = 0,000 282 022 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 022 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 022 1 × 2 = 0 + 0,000 564 044 2;
  • 2) 0,000 564 044 2 × 2 = 0 + 0,001 128 088 4;
  • 3) 0,001 128 088 4 × 2 = 0 + 0,002 256 176 8;
  • 4) 0,002 256 176 8 × 2 = 0 + 0,004 512 353 6;
  • 5) 0,004 512 353 6 × 2 = 0 + 0,009 024 707 2;
  • 6) 0,009 024 707 2 × 2 = 0 + 0,018 049 414 4;
  • 7) 0,018 049 414 4 × 2 = 0 + 0,036 098 828 8;
  • 8) 0,036 098 828 8 × 2 = 0 + 0,072 197 657 6;
  • 9) 0,072 197 657 6 × 2 = 0 + 0,144 395 315 2;
  • 10) 0,144 395 315 2 × 2 = 0 + 0,288 790 630 4;
  • 11) 0,288 790 630 4 × 2 = 0 + 0,577 581 260 8;
  • 12) 0,577 581 260 8 × 2 = 1 + 0,155 162 521 6;
  • 13) 0,155 162 521 6 × 2 = 0 + 0,310 325 043 2;
  • 14) 0,310 325 043 2 × 2 = 0 + 0,620 650 086 4;
  • 15) 0,620 650 086 4 × 2 = 1 + 0,241 300 172 8;
  • 16) 0,241 300 172 8 × 2 = 0 + 0,482 600 345 6;
  • 17) 0,482 600 345 6 × 2 = 0 + 0,965 200 691 2;
  • 18) 0,965 200 691 2 × 2 = 1 + 0,930 401 382 4;
  • 19) 0,930 401 382 4 × 2 = 1 + 0,860 802 764 8;
  • 20) 0,860 802 764 8 × 2 = 1 + 0,721 605 529 6;
  • 21) 0,721 605 529 6 × 2 = 1 + 0,443 211 059 2;
  • 22) 0,443 211 059 2 × 2 = 0 + 0,886 422 118 4;
  • 23) 0,886 422 118 4 × 2 = 1 + 0,772 844 236 8;
  • 24) 0,772 844 236 8 × 2 = 1 + 0,545 688 473 6;
  • 25) 0,545 688 473 6 × 2 = 1 + 0,091 376 947 2;
  • 26) 0,091 376 947 2 × 2 = 0 + 0,182 753 894 4;
  • 27) 0,182 753 894 4 × 2 = 0 + 0,365 507 788 8;
  • 28) 0,365 507 788 8 × 2 = 0 + 0,731 015 577 6;
  • 29) 0,731 015 577 6 × 2 = 1 + 0,462 031 155 2;
  • 30) 0,462 031 155 2 × 2 = 0 + 0,924 062 310 4;
  • 31) 0,924 062 310 4 × 2 = 1 + 0,848 124 620 8;
  • 32) 0,848 124 620 8 × 2 = 1 + 0,696 249 241 6;
  • 33) 0,696 249 241 6 × 2 = 1 + 0,392 498 483 2;
  • 34) 0,392 498 483 2 × 2 = 0 + 0,784 996 966 4;
  • 35) 0,784 996 966 4 × 2 = 1 + 0,569 993 932 8;
  • 36) 0,569 993 932 8 × 2 = 1 + 0,139 987 865 6;
  • 37) 0,139 987 865 6 × 2 = 0 + 0,279 975 731 2;
  • 38) 0,279 975 731 2 × 2 = 0 + 0,559 951 462 4;
  • 39) 0,559 951 462 4 × 2 = 1 + 0,119 902 924 8;
  • 40) 0,119 902 924 8 × 2 = 0 + 0,239 805 849 6;
  • 41) 0,239 805 849 6 × 2 = 0 + 0,479 611 699 2;
  • 42) 0,479 611 699 2 × 2 = 0 + 0,959 223 398 4;
  • 43) 0,959 223 398 4 × 2 = 1 + 0,918 446 796 8;
  • 44) 0,918 446 796 8 × 2 = 1 + 0,836 893 593 6;
  • 45) 0,836 893 593 6 × 2 = 1 + 0,673 787 187 2;
  • 46) 0,673 787 187 2 × 2 = 1 + 0,347 574 374 4;
  • 47) 0,347 574 374 4 × 2 = 0 + 0,695 148 748 8;
  • 48) 0,695 148 748 8 × 2 = 1 + 0,390 297 497 6;
  • 49) 0,390 297 497 6 × 2 = 0 + 0,780 594 995 2;
  • 50) 0,780 594 995 2 × 2 = 1 + 0,561 189 990 4;
  • 51) 0,561 189 990 4 × 2 = 1 + 0,122 379 980 8;
  • 52) 0,122 379 980 8 × 2 = 0 + 0,244 759 961 6;
  • 53) 0,244 759 961 6 × 2 = 0 + 0,489 519 923 2;
  • 54) 0,489 519 923 2 × 2 = 0 + 0,979 039 846 4;
  • 55) 0,979 039 846 4 × 2 = 1 + 0,958 079 692 8;
  • 56) 0,958 079 692 8 × 2 = 1 + 0,916 159 385 6;
  • 57) 0,916 159 385 6 × 2 = 1 + 0,832 318 771 2;
  • 58) 0,832 318 771 2 × 2 = 1 + 0,664 637 542 4;
  • 59) 0,664 637 542 4 × 2 = 1 + 0,329 275 084 8;
  • 60) 0,329 275 084 8 × 2 = 0 + 0,658 550 169 6;
  • 61) 0,658 550 169 6 × 2 = 1 + 0,317 100 339 2;
  • 62) 0,317 100 339 2 × 2 = 0 + 0,634 200 678 4;
  • 63) 0,634 200 678 4 × 2 = 1 + 0,268 401 356 8;
  • 64) 0,268 401 356 8 × 2 = 0 + 0,536 802 713 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 022 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 1011 1011 0010 0011 1101 0110 0011 1110 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 022 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 1011 1011 0010 0011 1101 0110 0011 1110 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 022 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 1011 1011 0010 0011 1101 0110 0011 1110 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1000 1011 1011 0010 0011 1101 0110 0011 1110 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1000 1011 1011 0010 0011 1101 0110 0011 1110 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1000 1011 1011 0010 0011 1101 0110 0011 1110 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1000 1011 1011 0010 0011 1101 0110 0011 1110 1010 =

0010 0111 1011 1000 1011 1011 0010 0011 1101 0110 0011 1110 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1000 1011 1011 0010 0011 1101 0110 0011 1110 1010


Numărul zecimal -0,000 282 022 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1000 1011 1011 0010 0011 1101 0110 0011 1110 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 028 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100