-0,000 282 025 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 025 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 025 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 025 3| = 0,000 282 025 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 025 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 025 3 × 2 = 0 + 0,000 564 050 6;
  • 2) 0,000 564 050 6 × 2 = 0 + 0,001 128 101 2;
  • 3) 0,001 128 101 2 × 2 = 0 + 0,002 256 202 4;
  • 4) 0,002 256 202 4 × 2 = 0 + 0,004 512 404 8;
  • 5) 0,004 512 404 8 × 2 = 0 + 0,009 024 809 6;
  • 6) 0,009 024 809 6 × 2 = 0 + 0,018 049 619 2;
  • 7) 0,018 049 619 2 × 2 = 0 + 0,036 099 238 4;
  • 8) 0,036 099 238 4 × 2 = 0 + 0,072 198 476 8;
  • 9) 0,072 198 476 8 × 2 = 0 + 0,144 396 953 6;
  • 10) 0,144 396 953 6 × 2 = 0 + 0,288 793 907 2;
  • 11) 0,288 793 907 2 × 2 = 0 + 0,577 587 814 4;
  • 12) 0,577 587 814 4 × 2 = 1 + 0,155 175 628 8;
  • 13) 0,155 175 628 8 × 2 = 0 + 0,310 351 257 6;
  • 14) 0,310 351 257 6 × 2 = 0 + 0,620 702 515 2;
  • 15) 0,620 702 515 2 × 2 = 1 + 0,241 405 030 4;
  • 16) 0,241 405 030 4 × 2 = 0 + 0,482 810 060 8;
  • 17) 0,482 810 060 8 × 2 = 0 + 0,965 620 121 6;
  • 18) 0,965 620 121 6 × 2 = 1 + 0,931 240 243 2;
  • 19) 0,931 240 243 2 × 2 = 1 + 0,862 480 486 4;
  • 20) 0,862 480 486 4 × 2 = 1 + 0,724 960 972 8;
  • 21) 0,724 960 972 8 × 2 = 1 + 0,449 921 945 6;
  • 22) 0,449 921 945 6 × 2 = 0 + 0,899 843 891 2;
  • 23) 0,899 843 891 2 × 2 = 1 + 0,799 687 782 4;
  • 24) 0,799 687 782 4 × 2 = 1 + 0,599 375 564 8;
  • 25) 0,599 375 564 8 × 2 = 1 + 0,198 751 129 6;
  • 26) 0,198 751 129 6 × 2 = 0 + 0,397 502 259 2;
  • 27) 0,397 502 259 2 × 2 = 0 + 0,795 004 518 4;
  • 28) 0,795 004 518 4 × 2 = 1 + 0,590 009 036 8;
  • 29) 0,590 009 036 8 × 2 = 1 + 0,180 018 073 6;
  • 30) 0,180 018 073 6 × 2 = 0 + 0,360 036 147 2;
  • 31) 0,360 036 147 2 × 2 = 0 + 0,720 072 294 4;
  • 32) 0,720 072 294 4 × 2 = 1 + 0,440 144 588 8;
  • 33) 0,440 144 588 8 × 2 = 0 + 0,880 289 177 6;
  • 34) 0,880 289 177 6 × 2 = 1 + 0,760 578 355 2;
  • 35) 0,760 578 355 2 × 2 = 1 + 0,521 156 710 4;
  • 36) 0,521 156 710 4 × 2 = 1 + 0,042 313 420 8;
  • 37) 0,042 313 420 8 × 2 = 0 + 0,084 626 841 6;
  • 38) 0,084 626 841 6 × 2 = 0 + 0,169 253 683 2;
  • 39) 0,169 253 683 2 × 2 = 0 + 0,338 507 366 4;
  • 40) 0,338 507 366 4 × 2 = 0 + 0,677 014 732 8;
  • 41) 0,677 014 732 8 × 2 = 1 + 0,354 029 465 6;
  • 42) 0,354 029 465 6 × 2 = 0 + 0,708 058 931 2;
  • 43) 0,708 058 931 2 × 2 = 1 + 0,416 117 862 4;
  • 44) 0,416 117 862 4 × 2 = 0 + 0,832 235 724 8;
  • 45) 0,832 235 724 8 × 2 = 1 + 0,664 471 449 6;
  • 46) 0,664 471 449 6 × 2 = 1 + 0,328 942 899 2;
  • 47) 0,328 942 899 2 × 2 = 0 + 0,657 885 798 4;
  • 48) 0,657 885 798 4 × 2 = 1 + 0,315 771 596 8;
  • 49) 0,315 771 596 8 × 2 = 0 + 0,631 543 193 6;
  • 50) 0,631 543 193 6 × 2 = 1 + 0,263 086 387 2;
  • 51) 0,263 086 387 2 × 2 = 0 + 0,526 172 774 4;
  • 52) 0,526 172 774 4 × 2 = 1 + 0,052 345 548 8;
  • 53) 0,052 345 548 8 × 2 = 0 + 0,104 691 097 6;
  • 54) 0,104 691 097 6 × 2 = 0 + 0,209 382 195 2;
  • 55) 0,209 382 195 2 × 2 = 0 + 0,418 764 390 4;
  • 56) 0,418 764 390 4 × 2 = 0 + 0,837 528 780 8;
  • 57) 0,837 528 780 8 × 2 = 1 + 0,675 057 561 6;
  • 58) 0,675 057 561 6 × 2 = 1 + 0,350 115 123 2;
  • 59) 0,350 115 123 2 × 2 = 0 + 0,700 230 246 4;
  • 60) 0,700 230 246 4 × 2 = 1 + 0,400 460 492 8;
  • 61) 0,400 460 492 8 × 2 = 0 + 0,800 920 985 6;
  • 62) 0,800 920 985 6 × 2 = 1 + 0,601 841 971 2;
  • 63) 0,601 841 971 2 × 2 = 1 + 0,203 683 942 4;
  • 64) 0,203 683 942 4 × 2 = 0 + 0,407 367 884 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 025 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1001 1001 0111 0000 1010 1101 0101 0000 1101 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 025 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1001 1001 0111 0000 1010 1101 0101 0000 1101 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 025 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1001 1001 0111 0000 1010 1101 0101 0000 1101 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1001 1001 0111 0000 1010 1101 0101 0000 1101 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1001 1001 0111 0000 1010 1101 0101 0000 1101 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1001 1001 0111 0000 1010 1101 0101 0000 1101 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1001 1001 0111 0000 1010 1101 0101 0000 1101 0110 =

0010 0111 1011 1001 1001 0111 0000 1010 1101 0101 0000 1101 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1001 1001 0111 0000 1010 1101 0101 0000 1101 0110


Numărul zecimal -0,000 282 025 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1001 1001 0111 0000 1010 1101 0101 0000 1101 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 027 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100