-0,000 282 026 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 026 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 026 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 026 6| = 0,000 282 026 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 026 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 026 6 × 2 = 0 + 0,000 564 053 2;
  • 2) 0,000 564 053 2 × 2 = 0 + 0,001 128 106 4;
  • 3) 0,001 128 106 4 × 2 = 0 + 0,002 256 212 8;
  • 4) 0,002 256 212 8 × 2 = 0 + 0,004 512 425 6;
  • 5) 0,004 512 425 6 × 2 = 0 + 0,009 024 851 2;
  • 6) 0,009 024 851 2 × 2 = 0 + 0,018 049 702 4;
  • 7) 0,018 049 702 4 × 2 = 0 + 0,036 099 404 8;
  • 8) 0,036 099 404 8 × 2 = 0 + 0,072 198 809 6;
  • 9) 0,072 198 809 6 × 2 = 0 + 0,144 397 619 2;
  • 10) 0,144 397 619 2 × 2 = 0 + 0,288 795 238 4;
  • 11) 0,288 795 238 4 × 2 = 0 + 0,577 590 476 8;
  • 12) 0,577 590 476 8 × 2 = 1 + 0,155 180 953 6;
  • 13) 0,155 180 953 6 × 2 = 0 + 0,310 361 907 2;
  • 14) 0,310 361 907 2 × 2 = 0 + 0,620 723 814 4;
  • 15) 0,620 723 814 4 × 2 = 1 + 0,241 447 628 8;
  • 16) 0,241 447 628 8 × 2 = 0 + 0,482 895 257 6;
  • 17) 0,482 895 257 6 × 2 = 0 + 0,965 790 515 2;
  • 18) 0,965 790 515 2 × 2 = 1 + 0,931 581 030 4;
  • 19) 0,931 581 030 4 × 2 = 1 + 0,863 162 060 8;
  • 20) 0,863 162 060 8 × 2 = 1 + 0,726 324 121 6;
  • 21) 0,726 324 121 6 × 2 = 1 + 0,452 648 243 2;
  • 22) 0,452 648 243 2 × 2 = 0 + 0,905 296 486 4;
  • 23) 0,905 296 486 4 × 2 = 1 + 0,810 592 972 8;
  • 24) 0,810 592 972 8 × 2 = 1 + 0,621 185 945 6;
  • 25) 0,621 185 945 6 × 2 = 1 + 0,242 371 891 2;
  • 26) 0,242 371 891 2 × 2 = 0 + 0,484 743 782 4;
  • 27) 0,484 743 782 4 × 2 = 0 + 0,969 487 564 8;
  • 28) 0,969 487 564 8 × 2 = 1 + 0,938 975 129 6;
  • 29) 0,938 975 129 6 × 2 = 1 + 0,877 950 259 2;
  • 30) 0,877 950 259 2 × 2 = 1 + 0,755 900 518 4;
  • 31) 0,755 900 518 4 × 2 = 1 + 0,511 801 036 8;
  • 32) 0,511 801 036 8 × 2 = 1 + 0,023 602 073 6;
  • 33) 0,023 602 073 6 × 2 = 0 + 0,047 204 147 2;
  • 34) 0,047 204 147 2 × 2 = 0 + 0,094 408 294 4;
  • 35) 0,094 408 294 4 × 2 = 0 + 0,188 816 588 8;
  • 36) 0,188 816 588 8 × 2 = 0 + 0,377 633 177 6;
  • 37) 0,377 633 177 6 × 2 = 0 + 0,755 266 355 2;
  • 38) 0,755 266 355 2 × 2 = 1 + 0,510 532 710 4;
  • 39) 0,510 532 710 4 × 2 = 1 + 0,021 065 420 8;
  • 40) 0,021 065 420 8 × 2 = 0 + 0,042 130 841 6;
  • 41) 0,042 130 841 6 × 2 = 0 + 0,084 261 683 2;
  • 42) 0,084 261 683 2 × 2 = 0 + 0,168 523 366 4;
  • 43) 0,168 523 366 4 × 2 = 0 + 0,337 046 732 8;
  • 44) 0,337 046 732 8 × 2 = 0 + 0,674 093 465 6;
  • 45) 0,674 093 465 6 × 2 = 1 + 0,348 186 931 2;
  • 46) 0,348 186 931 2 × 2 = 0 + 0,696 373 862 4;
  • 47) 0,696 373 862 4 × 2 = 1 + 0,392 747 724 8;
  • 48) 0,392 747 724 8 × 2 = 0 + 0,785 495 449 6;
  • 49) 0,785 495 449 6 × 2 = 1 + 0,570 990 899 2;
  • 50) 0,570 990 899 2 × 2 = 1 + 0,141 981 798 4;
  • 51) 0,141 981 798 4 × 2 = 0 + 0,283 963 596 8;
  • 52) 0,283 963 596 8 × 2 = 0 + 0,567 927 193 6;
  • 53) 0,567 927 193 6 × 2 = 1 + 0,135 854 387 2;
  • 54) 0,135 854 387 2 × 2 = 0 + 0,271 708 774 4;
  • 55) 0,271 708 774 4 × 2 = 0 + 0,543 417 548 8;
  • 56) 0,543 417 548 8 × 2 = 1 + 0,086 835 097 6;
  • 57) 0,086 835 097 6 × 2 = 0 + 0,173 670 195 2;
  • 58) 0,173 670 195 2 × 2 = 0 + 0,347 340 390 4;
  • 59) 0,347 340 390 4 × 2 = 0 + 0,694 680 780 8;
  • 60) 0,694 680 780 8 × 2 = 1 + 0,389 361 561 6;
  • 61) 0,389 361 561 6 × 2 = 0 + 0,778 723 123 2;
  • 62) 0,778 723 123 2 × 2 = 1 + 0,557 446 246 4;
  • 63) 0,557 446 246 4 × 2 = 1 + 0,114 892 492 8;
  • 64) 0,114 892 492 8 × 2 = 0 + 0,229 784 985 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 026 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1001 1111 0000 0110 0000 1010 1100 1001 0001 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 026 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1001 1111 0000 0110 0000 1010 1100 1001 0001 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 026 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1001 1111 0000 0110 0000 1010 1100 1001 0001 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1001 1111 0000 0110 0000 1010 1100 1001 0001 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1001 1111 0000 0110 0000 1010 1100 1001 0001 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1001 1111 0000 0110 0000 1010 1100 1001 0001 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1001 1111 0000 0110 0000 1010 1100 1001 0001 0110 =

0010 0111 1011 1001 1111 0000 0110 0000 1010 1100 1001 0001 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1001 1111 0000 0110 0000 1010 1100 1001 0001 0110


Numărul zecimal -0,000 282 026 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1001 1111 0000 0110 0000 1010 1100 1001 0001 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 031 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100