-0,000 282 026 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 026 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 026 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 026 9| = 0,000 282 026 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 026 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 026 9 × 2 = 0 + 0,000 564 053 8;
  • 2) 0,000 564 053 8 × 2 = 0 + 0,001 128 107 6;
  • 3) 0,001 128 107 6 × 2 = 0 + 0,002 256 215 2;
  • 4) 0,002 256 215 2 × 2 = 0 + 0,004 512 430 4;
  • 5) 0,004 512 430 4 × 2 = 0 + 0,009 024 860 8;
  • 6) 0,009 024 860 8 × 2 = 0 + 0,018 049 721 6;
  • 7) 0,018 049 721 6 × 2 = 0 + 0,036 099 443 2;
  • 8) 0,036 099 443 2 × 2 = 0 + 0,072 198 886 4;
  • 9) 0,072 198 886 4 × 2 = 0 + 0,144 397 772 8;
  • 10) 0,144 397 772 8 × 2 = 0 + 0,288 795 545 6;
  • 11) 0,288 795 545 6 × 2 = 0 + 0,577 591 091 2;
  • 12) 0,577 591 091 2 × 2 = 1 + 0,155 182 182 4;
  • 13) 0,155 182 182 4 × 2 = 0 + 0,310 364 364 8;
  • 14) 0,310 364 364 8 × 2 = 0 + 0,620 728 729 6;
  • 15) 0,620 728 729 6 × 2 = 1 + 0,241 457 459 2;
  • 16) 0,241 457 459 2 × 2 = 0 + 0,482 914 918 4;
  • 17) 0,482 914 918 4 × 2 = 0 + 0,965 829 836 8;
  • 18) 0,965 829 836 8 × 2 = 1 + 0,931 659 673 6;
  • 19) 0,931 659 673 6 × 2 = 1 + 0,863 319 347 2;
  • 20) 0,863 319 347 2 × 2 = 1 + 0,726 638 694 4;
  • 21) 0,726 638 694 4 × 2 = 1 + 0,453 277 388 8;
  • 22) 0,453 277 388 8 × 2 = 0 + 0,906 554 777 6;
  • 23) 0,906 554 777 6 × 2 = 1 + 0,813 109 555 2;
  • 24) 0,813 109 555 2 × 2 = 1 + 0,626 219 110 4;
  • 25) 0,626 219 110 4 × 2 = 1 + 0,252 438 220 8;
  • 26) 0,252 438 220 8 × 2 = 0 + 0,504 876 441 6;
  • 27) 0,504 876 441 6 × 2 = 1 + 0,009 752 883 2;
  • 28) 0,009 752 883 2 × 2 = 0 + 0,019 505 766 4;
  • 29) 0,019 505 766 4 × 2 = 0 + 0,039 011 532 8;
  • 30) 0,039 011 532 8 × 2 = 0 + 0,078 023 065 6;
  • 31) 0,078 023 065 6 × 2 = 0 + 0,156 046 131 2;
  • 32) 0,156 046 131 2 × 2 = 0 + 0,312 092 262 4;
  • 33) 0,312 092 262 4 × 2 = 0 + 0,624 184 524 8;
  • 34) 0,624 184 524 8 × 2 = 1 + 0,248 369 049 6;
  • 35) 0,248 369 049 6 × 2 = 0 + 0,496 738 099 2;
  • 36) 0,496 738 099 2 × 2 = 0 + 0,993 476 198 4;
  • 37) 0,993 476 198 4 × 2 = 1 + 0,986 952 396 8;
  • 38) 0,986 952 396 8 × 2 = 1 + 0,973 904 793 6;
  • 39) 0,973 904 793 6 × 2 = 1 + 0,947 809 587 2;
  • 40) 0,947 809 587 2 × 2 = 1 + 0,895 619 174 4;
  • 41) 0,895 619 174 4 × 2 = 1 + 0,791 238 348 8;
  • 42) 0,791 238 348 8 × 2 = 1 + 0,582 476 697 6;
  • 43) 0,582 476 697 6 × 2 = 1 + 0,164 953 395 2;
  • 44) 0,164 953 395 2 × 2 = 0 + 0,329 906 790 4;
  • 45) 0,329 906 790 4 × 2 = 0 + 0,659 813 580 8;
  • 46) 0,659 813 580 8 × 2 = 1 + 0,319 627 161 6;
  • 47) 0,319 627 161 6 × 2 = 0 + 0,639 254 323 2;
  • 48) 0,639 254 323 2 × 2 = 1 + 0,278 508 646 4;
  • 49) 0,278 508 646 4 × 2 = 0 + 0,557 017 292 8;
  • 50) 0,557 017 292 8 × 2 = 1 + 0,114 034 585 6;
  • 51) 0,114 034 585 6 × 2 = 0 + 0,228 069 171 2;
  • 52) 0,228 069 171 2 × 2 = 0 + 0,456 138 342 4;
  • 53) 0,456 138 342 4 × 2 = 0 + 0,912 276 684 8;
  • 54) 0,912 276 684 8 × 2 = 1 + 0,824 553 369 6;
  • 55) 0,824 553 369 6 × 2 = 1 + 0,649 106 739 2;
  • 56) 0,649 106 739 2 × 2 = 1 + 0,298 213 478 4;
  • 57) 0,298 213 478 4 × 2 = 0 + 0,596 426 956 8;
  • 58) 0,596 426 956 8 × 2 = 1 + 0,192 853 913 6;
  • 59) 0,192 853 913 6 × 2 = 0 + 0,385 707 827 2;
  • 60) 0,385 707 827 2 × 2 = 0 + 0,771 415 654 4;
  • 61) 0,771 415 654 4 × 2 = 1 + 0,542 831 308 8;
  • 62) 0,542 831 308 8 × 2 = 1 + 0,085 662 617 6;
  • 63) 0,085 662 617 6 × 2 = 0 + 0,171 325 235 2;
  • 64) 0,171 325 235 2 × 2 = 0 + 0,342 650 470 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 026 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1010 0000 0100 1111 1110 0101 0100 0111 0100 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 026 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1010 0000 0100 1111 1110 0101 0100 0111 0100 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 026 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1010 0000 0100 1111 1110 0101 0100 0111 0100 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1010 0000 0100 1111 1110 0101 0100 0111 0100 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1010 0000 0100 1111 1110 0101 0100 0111 0100 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1010 0000 0100 1111 1110 0101 0100 0111 0100 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1010 0000 0100 1111 1110 0101 0100 0111 0100 1100 =

0010 0111 1011 1010 0000 0100 1111 1110 0101 0100 0111 0100 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1010 0000 0100 1111 1110 0101 0100 0111 0100 1100


Numărul zecimal -0,000 282 026 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1010 0000 0100 1111 1110 0101 0100 0111 0100 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 021 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100