-0,000 282 027 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 027 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 027 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 027 2| = 0,000 282 027 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 027 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 027 2 × 2 = 0 + 0,000 564 054 4;
  • 2) 0,000 564 054 4 × 2 = 0 + 0,001 128 108 8;
  • 3) 0,001 128 108 8 × 2 = 0 + 0,002 256 217 6;
  • 4) 0,002 256 217 6 × 2 = 0 + 0,004 512 435 2;
  • 5) 0,004 512 435 2 × 2 = 0 + 0,009 024 870 4;
  • 6) 0,009 024 870 4 × 2 = 0 + 0,018 049 740 8;
  • 7) 0,018 049 740 8 × 2 = 0 + 0,036 099 481 6;
  • 8) 0,036 099 481 6 × 2 = 0 + 0,072 198 963 2;
  • 9) 0,072 198 963 2 × 2 = 0 + 0,144 397 926 4;
  • 10) 0,144 397 926 4 × 2 = 0 + 0,288 795 852 8;
  • 11) 0,288 795 852 8 × 2 = 0 + 0,577 591 705 6;
  • 12) 0,577 591 705 6 × 2 = 1 + 0,155 183 411 2;
  • 13) 0,155 183 411 2 × 2 = 0 + 0,310 366 822 4;
  • 14) 0,310 366 822 4 × 2 = 0 + 0,620 733 644 8;
  • 15) 0,620 733 644 8 × 2 = 1 + 0,241 467 289 6;
  • 16) 0,241 467 289 6 × 2 = 0 + 0,482 934 579 2;
  • 17) 0,482 934 579 2 × 2 = 0 + 0,965 869 158 4;
  • 18) 0,965 869 158 4 × 2 = 1 + 0,931 738 316 8;
  • 19) 0,931 738 316 8 × 2 = 1 + 0,863 476 633 6;
  • 20) 0,863 476 633 6 × 2 = 1 + 0,726 953 267 2;
  • 21) 0,726 953 267 2 × 2 = 1 + 0,453 906 534 4;
  • 22) 0,453 906 534 4 × 2 = 0 + 0,907 813 068 8;
  • 23) 0,907 813 068 8 × 2 = 1 + 0,815 626 137 6;
  • 24) 0,815 626 137 6 × 2 = 1 + 0,631 252 275 2;
  • 25) 0,631 252 275 2 × 2 = 1 + 0,262 504 550 4;
  • 26) 0,262 504 550 4 × 2 = 0 + 0,525 009 100 8;
  • 27) 0,525 009 100 8 × 2 = 1 + 0,050 018 201 6;
  • 28) 0,050 018 201 6 × 2 = 0 + 0,100 036 403 2;
  • 29) 0,100 036 403 2 × 2 = 0 + 0,200 072 806 4;
  • 30) 0,200 072 806 4 × 2 = 0 + 0,400 145 612 8;
  • 31) 0,400 145 612 8 × 2 = 0 + 0,800 291 225 6;
  • 32) 0,800 291 225 6 × 2 = 1 + 0,600 582 451 2;
  • 33) 0,600 582 451 2 × 2 = 1 + 0,201 164 902 4;
  • 34) 0,201 164 902 4 × 2 = 0 + 0,402 329 804 8;
  • 35) 0,402 329 804 8 × 2 = 0 + 0,804 659 609 6;
  • 36) 0,804 659 609 6 × 2 = 1 + 0,609 319 219 2;
  • 37) 0,609 319 219 2 × 2 = 1 + 0,218 638 438 4;
  • 38) 0,218 638 438 4 × 2 = 0 + 0,437 276 876 8;
  • 39) 0,437 276 876 8 × 2 = 0 + 0,874 553 753 6;
  • 40) 0,874 553 753 6 × 2 = 1 + 0,749 107 507 2;
  • 41) 0,749 107 507 2 × 2 = 1 + 0,498 215 014 4;
  • 42) 0,498 215 014 4 × 2 = 0 + 0,996 430 028 8;
  • 43) 0,996 430 028 8 × 2 = 1 + 0,992 860 057 6;
  • 44) 0,992 860 057 6 × 2 = 1 + 0,985 720 115 2;
  • 45) 0,985 720 115 2 × 2 = 1 + 0,971 440 230 4;
  • 46) 0,971 440 230 4 × 2 = 1 + 0,942 880 460 8;
  • 47) 0,942 880 460 8 × 2 = 1 + 0,885 760 921 6;
  • 48) 0,885 760 921 6 × 2 = 1 + 0,771 521 843 2;
  • 49) 0,771 521 843 2 × 2 = 1 + 0,543 043 686 4;
  • 50) 0,543 043 686 4 × 2 = 1 + 0,086 087 372 8;
  • 51) 0,086 087 372 8 × 2 = 0 + 0,172 174 745 6;
  • 52) 0,172 174 745 6 × 2 = 0 + 0,344 349 491 2;
  • 53) 0,344 349 491 2 × 2 = 0 + 0,688 698 982 4;
  • 54) 0,688 698 982 4 × 2 = 1 + 0,377 397 964 8;
  • 55) 0,377 397 964 8 × 2 = 0 + 0,754 795 929 6;
  • 56) 0,754 795 929 6 × 2 = 1 + 0,509 591 859 2;
  • 57) 0,509 591 859 2 × 2 = 1 + 0,019 183 718 4;
  • 58) 0,019 183 718 4 × 2 = 0 + 0,038 367 436 8;
  • 59) 0,038 367 436 8 × 2 = 0 + 0,076 734 873 6;
  • 60) 0,076 734 873 6 × 2 = 0 + 0,153 469 747 2;
  • 61) 0,153 469 747 2 × 2 = 0 + 0,306 939 494 4;
  • 62) 0,306 939 494 4 × 2 = 0 + 0,613 878 988 8;
  • 63) 0,613 878 988 8 × 2 = 1 + 0,227 757 977 6;
  • 64) 0,227 757 977 6 × 2 = 0 + 0,455 515 955 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 027 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1010 0001 1001 1001 1011 1111 1100 0101 1000 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 027 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1010 0001 1001 1001 1011 1111 1100 0101 1000 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 027 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1010 0001 1001 1001 1011 1111 1100 0101 1000 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1010 0001 1001 1001 1011 1111 1100 0101 1000 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1010 0001 1001 1001 1011 1111 1100 0101 1000 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1010 0001 1001 1001 1011 1111 1100 0101 1000 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1010 0001 1001 1001 1011 1111 1100 0101 1000 0010 =

0010 0111 1011 1010 0001 1001 1001 1011 1111 1100 0101 1000 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1010 0001 1001 1001 1011 1111 1100 0101 1000 0010


Numărul zecimal -0,000 282 027 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1010 0001 1001 1001 1011 1111 1100 0101 1000 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 036 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100