-0,000 282 035 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 035 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 035 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 035 9| = 0,000 282 035 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 035 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 035 9 × 2 = 0 + 0,000 564 071 8;
  • 2) 0,000 564 071 8 × 2 = 0 + 0,001 128 143 6;
  • 3) 0,001 128 143 6 × 2 = 0 + 0,002 256 287 2;
  • 4) 0,002 256 287 2 × 2 = 0 + 0,004 512 574 4;
  • 5) 0,004 512 574 4 × 2 = 0 + 0,009 025 148 8;
  • 6) 0,009 025 148 8 × 2 = 0 + 0,018 050 297 6;
  • 7) 0,018 050 297 6 × 2 = 0 + 0,036 100 595 2;
  • 8) 0,036 100 595 2 × 2 = 0 + 0,072 201 190 4;
  • 9) 0,072 201 190 4 × 2 = 0 + 0,144 402 380 8;
  • 10) 0,144 402 380 8 × 2 = 0 + 0,288 804 761 6;
  • 11) 0,288 804 761 6 × 2 = 0 + 0,577 609 523 2;
  • 12) 0,577 609 523 2 × 2 = 1 + 0,155 219 046 4;
  • 13) 0,155 219 046 4 × 2 = 0 + 0,310 438 092 8;
  • 14) 0,310 438 092 8 × 2 = 0 + 0,620 876 185 6;
  • 15) 0,620 876 185 6 × 2 = 1 + 0,241 752 371 2;
  • 16) 0,241 752 371 2 × 2 = 0 + 0,483 504 742 4;
  • 17) 0,483 504 742 4 × 2 = 0 + 0,967 009 484 8;
  • 18) 0,967 009 484 8 × 2 = 1 + 0,934 018 969 6;
  • 19) 0,934 018 969 6 × 2 = 1 + 0,868 037 939 2;
  • 20) 0,868 037 939 2 × 2 = 1 + 0,736 075 878 4;
  • 21) 0,736 075 878 4 × 2 = 1 + 0,472 151 756 8;
  • 22) 0,472 151 756 8 × 2 = 0 + 0,944 303 513 6;
  • 23) 0,944 303 513 6 × 2 = 1 + 0,888 607 027 2;
  • 24) 0,888 607 027 2 × 2 = 1 + 0,777 214 054 4;
  • 25) 0,777 214 054 4 × 2 = 1 + 0,554 428 108 8;
  • 26) 0,554 428 108 8 × 2 = 1 + 0,108 856 217 6;
  • 27) 0,108 856 217 6 × 2 = 0 + 0,217 712 435 2;
  • 28) 0,217 712 435 2 × 2 = 0 + 0,435 424 870 4;
  • 29) 0,435 424 870 4 × 2 = 0 + 0,870 849 740 8;
  • 30) 0,870 849 740 8 × 2 = 1 + 0,741 699 481 6;
  • 31) 0,741 699 481 6 × 2 = 1 + 0,483 398 963 2;
  • 32) 0,483 398 963 2 × 2 = 0 + 0,966 797 926 4;
  • 33) 0,966 797 926 4 × 2 = 1 + 0,933 595 852 8;
  • 34) 0,933 595 852 8 × 2 = 1 + 0,867 191 705 6;
  • 35) 0,867 191 705 6 × 2 = 1 + 0,734 383 411 2;
  • 36) 0,734 383 411 2 × 2 = 1 + 0,468 766 822 4;
  • 37) 0,468 766 822 4 × 2 = 0 + 0,937 533 644 8;
  • 38) 0,937 533 644 8 × 2 = 1 + 0,875 067 289 6;
  • 39) 0,875 067 289 6 × 2 = 1 + 0,750 134 579 2;
  • 40) 0,750 134 579 2 × 2 = 1 + 0,500 269 158 4;
  • 41) 0,500 269 158 4 × 2 = 1 + 0,000 538 316 8;
  • 42) 0,000 538 316 8 × 2 = 0 + 0,001 076 633 6;
  • 43) 0,001 076 633 6 × 2 = 0 + 0,002 153 267 2;
  • 44) 0,002 153 267 2 × 2 = 0 + 0,004 306 534 4;
  • 45) 0,004 306 534 4 × 2 = 0 + 0,008 613 068 8;
  • 46) 0,008 613 068 8 × 2 = 0 + 0,017 226 137 6;
  • 47) 0,017 226 137 6 × 2 = 0 + 0,034 452 275 2;
  • 48) 0,034 452 275 2 × 2 = 0 + 0,068 904 550 4;
  • 49) 0,068 904 550 4 × 2 = 0 + 0,137 809 100 8;
  • 50) 0,137 809 100 8 × 2 = 0 + 0,275 618 201 6;
  • 51) 0,275 618 201 6 × 2 = 0 + 0,551 236 403 2;
  • 52) 0,551 236 403 2 × 2 = 1 + 0,102 472 806 4;
  • 53) 0,102 472 806 4 × 2 = 0 + 0,204 945 612 8;
  • 54) 0,204 945 612 8 × 2 = 0 + 0,409 891 225 6;
  • 55) 0,409 891 225 6 × 2 = 0 + 0,819 782 451 2;
  • 56) 0,819 782 451 2 × 2 = 1 + 0,639 564 902 4;
  • 57) 0,639 564 902 4 × 2 = 1 + 0,279 129 804 8;
  • 58) 0,279 129 804 8 × 2 = 0 + 0,558 259 609 6;
  • 59) 0,558 259 609 6 × 2 = 1 + 0,116 519 219 2;
  • 60) 0,116 519 219 2 × 2 = 0 + 0,233 038 438 4;
  • 61) 0,233 038 438 4 × 2 = 0 + 0,466 076 876 8;
  • 62) 0,466 076 876 8 × 2 = 0 + 0,932 153 753 6;
  • 63) 0,932 153 753 6 × 2 = 1 + 0,864 307 507 2;
  • 64) 0,864 307 507 2 × 2 = 1 + 0,728 615 014 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 035 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1100 0110 1111 0111 1000 0000 0001 0001 1010 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 035 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1100 0110 1111 0111 1000 0000 0001 0001 1010 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 035 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1100 0110 1111 0111 1000 0000 0001 0001 1010 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1100 0110 1111 0111 1000 0000 0001 0001 1010 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1100 0110 1111 0111 1000 0000 0001 0001 1010 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1100 0110 1111 0111 1000 0000 0001 0001 1010 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1100 0110 1111 0111 1000 0000 0001 0001 1010 0011 =

0010 0111 1011 1100 0110 1111 0111 1000 0000 0001 0001 1010 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1100 0110 1111 0111 1000 0000 0001 0001 1010 0011


Numărul zecimal -0,000 282 035 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1100 0110 1111 0111 1000 0000 0001 0001 1010 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 034 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100