-0,000 282 037 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 037 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 037 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 037 8| = 0,000 282 037 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 037 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 037 8 × 2 = 0 + 0,000 564 075 6;
  • 2) 0,000 564 075 6 × 2 = 0 + 0,001 128 151 2;
  • 3) 0,001 128 151 2 × 2 = 0 + 0,002 256 302 4;
  • 4) 0,002 256 302 4 × 2 = 0 + 0,004 512 604 8;
  • 5) 0,004 512 604 8 × 2 = 0 + 0,009 025 209 6;
  • 6) 0,009 025 209 6 × 2 = 0 + 0,018 050 419 2;
  • 7) 0,018 050 419 2 × 2 = 0 + 0,036 100 838 4;
  • 8) 0,036 100 838 4 × 2 = 0 + 0,072 201 676 8;
  • 9) 0,072 201 676 8 × 2 = 0 + 0,144 403 353 6;
  • 10) 0,144 403 353 6 × 2 = 0 + 0,288 806 707 2;
  • 11) 0,288 806 707 2 × 2 = 0 + 0,577 613 414 4;
  • 12) 0,577 613 414 4 × 2 = 1 + 0,155 226 828 8;
  • 13) 0,155 226 828 8 × 2 = 0 + 0,310 453 657 6;
  • 14) 0,310 453 657 6 × 2 = 0 + 0,620 907 315 2;
  • 15) 0,620 907 315 2 × 2 = 1 + 0,241 814 630 4;
  • 16) 0,241 814 630 4 × 2 = 0 + 0,483 629 260 8;
  • 17) 0,483 629 260 8 × 2 = 0 + 0,967 258 521 6;
  • 18) 0,967 258 521 6 × 2 = 1 + 0,934 517 043 2;
  • 19) 0,934 517 043 2 × 2 = 1 + 0,869 034 086 4;
  • 20) 0,869 034 086 4 × 2 = 1 + 0,738 068 172 8;
  • 21) 0,738 068 172 8 × 2 = 1 + 0,476 136 345 6;
  • 22) 0,476 136 345 6 × 2 = 0 + 0,952 272 691 2;
  • 23) 0,952 272 691 2 × 2 = 1 + 0,904 545 382 4;
  • 24) 0,904 545 382 4 × 2 = 1 + 0,809 090 764 8;
  • 25) 0,809 090 764 8 × 2 = 1 + 0,618 181 529 6;
  • 26) 0,618 181 529 6 × 2 = 1 + 0,236 363 059 2;
  • 27) 0,236 363 059 2 × 2 = 0 + 0,472 726 118 4;
  • 28) 0,472 726 118 4 × 2 = 0 + 0,945 452 236 8;
  • 29) 0,945 452 236 8 × 2 = 1 + 0,890 904 473 6;
  • 30) 0,890 904 473 6 × 2 = 1 + 0,781 808 947 2;
  • 31) 0,781 808 947 2 × 2 = 1 + 0,563 617 894 4;
  • 32) 0,563 617 894 4 × 2 = 1 + 0,127 235 788 8;
  • 33) 0,127 235 788 8 × 2 = 0 + 0,254 471 577 6;
  • 34) 0,254 471 577 6 × 2 = 0 + 0,508 943 155 2;
  • 35) 0,508 943 155 2 × 2 = 1 + 0,017 886 310 4;
  • 36) 0,017 886 310 4 × 2 = 0 + 0,035 772 620 8;
  • 37) 0,035 772 620 8 × 2 = 0 + 0,071 545 241 6;
  • 38) 0,071 545 241 6 × 2 = 0 + 0,143 090 483 2;
  • 39) 0,143 090 483 2 × 2 = 0 + 0,286 180 966 4;
  • 40) 0,286 180 966 4 × 2 = 0 + 0,572 361 932 8;
  • 41) 0,572 361 932 8 × 2 = 1 + 0,144 723 865 6;
  • 42) 0,144 723 865 6 × 2 = 0 + 0,289 447 731 2;
  • 43) 0,289 447 731 2 × 2 = 0 + 0,578 895 462 4;
  • 44) 0,578 895 462 4 × 2 = 1 + 0,157 790 924 8;
  • 45) 0,157 790 924 8 × 2 = 0 + 0,315 581 849 6;
  • 46) 0,315 581 849 6 × 2 = 0 + 0,631 163 699 2;
  • 47) 0,631 163 699 2 × 2 = 1 + 0,262 327 398 4;
  • 48) 0,262 327 398 4 × 2 = 0 + 0,524 654 796 8;
  • 49) 0,524 654 796 8 × 2 = 1 + 0,049 309 593 6;
  • 50) 0,049 309 593 6 × 2 = 0 + 0,098 619 187 2;
  • 51) 0,098 619 187 2 × 2 = 0 + 0,197 238 374 4;
  • 52) 0,197 238 374 4 × 2 = 0 + 0,394 476 748 8;
  • 53) 0,394 476 748 8 × 2 = 0 + 0,788 953 497 6;
  • 54) 0,788 953 497 6 × 2 = 1 + 0,577 906 995 2;
  • 55) 0,577 906 995 2 × 2 = 1 + 0,155 813 990 4;
  • 56) 0,155 813 990 4 × 2 = 0 + 0,311 627 980 8;
  • 57) 0,311 627 980 8 × 2 = 0 + 0,623 255 961 6;
  • 58) 0,623 255 961 6 × 2 = 1 + 0,246 511 923 2;
  • 59) 0,246 511 923 2 × 2 = 0 + 0,493 023 846 4;
  • 60) 0,493 023 846 4 × 2 = 0 + 0,986 047 692 8;
  • 61) 0,986 047 692 8 × 2 = 1 + 0,972 095 385 6;
  • 62) 0,972 095 385 6 × 2 = 1 + 0,944 190 771 2;
  • 63) 0,944 190 771 2 × 2 = 1 + 0,888 381 542 4;
  • 64) 0,888 381 542 4 × 2 = 1 + 0,776 763 084 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 037 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1100 1111 0010 0000 1001 0010 1000 0110 0100 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 037 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1100 1111 0010 0000 1001 0010 1000 0110 0100 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 037 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1100 1111 0010 0000 1001 0010 1000 0110 0100 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1100 1111 0010 0000 1001 0010 1000 0110 0100 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1100 1111 0010 0000 1001 0010 1000 0110 0100 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1100 1111 0010 0000 1001 0010 1000 0110 0100 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1100 1111 0010 0000 1001 0010 1000 0110 0100 1111 =

0010 0111 1011 1100 1111 0010 0000 1001 0010 1000 0110 0100 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1100 1111 0010 0000 1001 0010 1000 0110 0100 1111


Numărul zecimal -0,000 282 037 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1100 1111 0010 0000 1001 0010 1000 0110 0100 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 042 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100