-0,000 282 040 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 040 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 040 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 040 4| = 0,000 282 040 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 040 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 040 4 × 2 = 0 + 0,000 564 080 8;
  • 2) 0,000 564 080 8 × 2 = 0 + 0,001 128 161 6;
  • 3) 0,001 128 161 6 × 2 = 0 + 0,002 256 323 2;
  • 4) 0,002 256 323 2 × 2 = 0 + 0,004 512 646 4;
  • 5) 0,004 512 646 4 × 2 = 0 + 0,009 025 292 8;
  • 6) 0,009 025 292 8 × 2 = 0 + 0,018 050 585 6;
  • 7) 0,018 050 585 6 × 2 = 0 + 0,036 101 171 2;
  • 8) 0,036 101 171 2 × 2 = 0 + 0,072 202 342 4;
  • 9) 0,072 202 342 4 × 2 = 0 + 0,144 404 684 8;
  • 10) 0,144 404 684 8 × 2 = 0 + 0,288 809 369 6;
  • 11) 0,288 809 369 6 × 2 = 0 + 0,577 618 739 2;
  • 12) 0,577 618 739 2 × 2 = 1 + 0,155 237 478 4;
  • 13) 0,155 237 478 4 × 2 = 0 + 0,310 474 956 8;
  • 14) 0,310 474 956 8 × 2 = 0 + 0,620 949 913 6;
  • 15) 0,620 949 913 6 × 2 = 1 + 0,241 899 827 2;
  • 16) 0,241 899 827 2 × 2 = 0 + 0,483 799 654 4;
  • 17) 0,483 799 654 4 × 2 = 0 + 0,967 599 308 8;
  • 18) 0,967 599 308 8 × 2 = 1 + 0,935 198 617 6;
  • 19) 0,935 198 617 6 × 2 = 1 + 0,870 397 235 2;
  • 20) 0,870 397 235 2 × 2 = 1 + 0,740 794 470 4;
  • 21) 0,740 794 470 4 × 2 = 1 + 0,481 588 940 8;
  • 22) 0,481 588 940 8 × 2 = 0 + 0,963 177 881 6;
  • 23) 0,963 177 881 6 × 2 = 1 + 0,926 355 763 2;
  • 24) 0,926 355 763 2 × 2 = 1 + 0,852 711 526 4;
  • 25) 0,852 711 526 4 × 2 = 1 + 0,705 423 052 8;
  • 26) 0,705 423 052 8 × 2 = 1 + 0,410 846 105 6;
  • 27) 0,410 846 105 6 × 2 = 0 + 0,821 692 211 2;
  • 28) 0,821 692 211 2 × 2 = 1 + 0,643 384 422 4;
  • 29) 0,643 384 422 4 × 2 = 1 + 0,286 768 844 8;
  • 30) 0,286 768 844 8 × 2 = 0 + 0,573 537 689 6;
  • 31) 0,573 537 689 6 × 2 = 1 + 0,147 075 379 2;
  • 32) 0,147 075 379 2 × 2 = 0 + 0,294 150 758 4;
  • 33) 0,294 150 758 4 × 2 = 0 + 0,588 301 516 8;
  • 34) 0,588 301 516 8 × 2 = 1 + 0,176 603 033 6;
  • 35) 0,176 603 033 6 × 2 = 0 + 0,353 206 067 2;
  • 36) 0,353 206 067 2 × 2 = 0 + 0,706 412 134 4;
  • 37) 0,706 412 134 4 × 2 = 1 + 0,412 824 268 8;
  • 38) 0,412 824 268 8 × 2 = 0 + 0,825 648 537 6;
  • 39) 0,825 648 537 6 × 2 = 1 + 0,651 297 075 2;
  • 40) 0,651 297 075 2 × 2 = 1 + 0,302 594 150 4;
  • 41) 0,302 594 150 4 × 2 = 0 + 0,605 188 300 8;
  • 42) 0,605 188 300 8 × 2 = 1 + 0,210 376 601 6;
  • 43) 0,210 376 601 6 × 2 = 0 + 0,420 753 203 2;
  • 44) 0,420 753 203 2 × 2 = 0 + 0,841 506 406 4;
  • 45) 0,841 506 406 4 × 2 = 1 + 0,683 012 812 8;
  • 46) 0,683 012 812 8 × 2 = 1 + 0,366 025 625 6;
  • 47) 0,366 025 625 6 × 2 = 0 + 0,732 051 251 2;
  • 48) 0,732 051 251 2 × 2 = 1 + 0,464 102 502 4;
  • 49) 0,464 102 502 4 × 2 = 0 + 0,928 205 004 8;
  • 50) 0,928 205 004 8 × 2 = 1 + 0,856 410 009 6;
  • 51) 0,856 410 009 6 × 2 = 1 + 0,712 820 019 2;
  • 52) 0,712 820 019 2 × 2 = 1 + 0,425 640 038 4;
  • 53) 0,425 640 038 4 × 2 = 0 + 0,851 280 076 8;
  • 54) 0,851 280 076 8 × 2 = 1 + 0,702 560 153 6;
  • 55) 0,702 560 153 6 × 2 = 1 + 0,405 120 307 2;
  • 56) 0,405 120 307 2 × 2 = 0 + 0,810 240 614 4;
  • 57) 0,810 240 614 4 × 2 = 1 + 0,620 481 228 8;
  • 58) 0,620 481 228 8 × 2 = 1 + 0,240 962 457 6;
  • 59) 0,240 962 457 6 × 2 = 0 + 0,481 924 915 2;
  • 60) 0,481 924 915 2 × 2 = 0 + 0,963 849 830 4;
  • 61) 0,963 849 830 4 × 2 = 1 + 0,927 699 660 8;
  • 62) 0,927 699 660 8 × 2 = 1 + 0,855 399 321 6;
  • 63) 0,855 399 321 6 × 2 = 1 + 0,710 798 643 2;
  • 64) 0,710 798 643 2 × 2 = 1 + 0,421 597 286 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 040 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1101 1010 0100 1011 0100 1101 0111 0110 1100 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 040 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1101 1010 0100 1011 0100 1101 0111 0110 1100 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 040 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1101 1010 0100 1011 0100 1101 0111 0110 1100 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1101 1010 0100 1011 0100 1101 0111 0110 1100 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1101 1010 0100 1011 0100 1101 0111 0110 1100 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1101 1010 0100 1011 0100 1101 0111 0110 1100 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1101 1010 0100 1011 0100 1101 0111 0110 1100 1111 =

0010 0111 1011 1101 1010 0100 1011 0100 1101 0111 0110 1100 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1101 1010 0100 1011 0100 1101 0111 0110 1100 1111


Numărul zecimal -0,000 282 040 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1101 1010 0100 1011 0100 1101 0111 0110 1100 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 037 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100