-0,000 282 049 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 049 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 049 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 049 9| = 0,000 282 049 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 049 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 049 9 × 2 = 0 + 0,000 564 099 8;
  • 2) 0,000 564 099 8 × 2 = 0 + 0,001 128 199 6;
  • 3) 0,001 128 199 6 × 2 = 0 + 0,002 256 399 2;
  • 4) 0,002 256 399 2 × 2 = 0 + 0,004 512 798 4;
  • 5) 0,004 512 798 4 × 2 = 0 + 0,009 025 596 8;
  • 6) 0,009 025 596 8 × 2 = 0 + 0,018 051 193 6;
  • 7) 0,018 051 193 6 × 2 = 0 + 0,036 102 387 2;
  • 8) 0,036 102 387 2 × 2 = 0 + 0,072 204 774 4;
  • 9) 0,072 204 774 4 × 2 = 0 + 0,144 409 548 8;
  • 10) 0,144 409 548 8 × 2 = 0 + 0,288 819 097 6;
  • 11) 0,288 819 097 6 × 2 = 0 + 0,577 638 195 2;
  • 12) 0,577 638 195 2 × 2 = 1 + 0,155 276 390 4;
  • 13) 0,155 276 390 4 × 2 = 0 + 0,310 552 780 8;
  • 14) 0,310 552 780 8 × 2 = 0 + 0,621 105 561 6;
  • 15) 0,621 105 561 6 × 2 = 1 + 0,242 211 123 2;
  • 16) 0,242 211 123 2 × 2 = 0 + 0,484 422 246 4;
  • 17) 0,484 422 246 4 × 2 = 0 + 0,968 844 492 8;
  • 18) 0,968 844 492 8 × 2 = 1 + 0,937 688 985 6;
  • 19) 0,937 688 985 6 × 2 = 1 + 0,875 377 971 2;
  • 20) 0,875 377 971 2 × 2 = 1 + 0,750 755 942 4;
  • 21) 0,750 755 942 4 × 2 = 1 + 0,501 511 884 8;
  • 22) 0,501 511 884 8 × 2 = 1 + 0,003 023 769 6;
  • 23) 0,003 023 769 6 × 2 = 0 + 0,006 047 539 2;
  • 24) 0,006 047 539 2 × 2 = 0 + 0,012 095 078 4;
  • 25) 0,012 095 078 4 × 2 = 0 + 0,024 190 156 8;
  • 26) 0,024 190 156 8 × 2 = 0 + 0,048 380 313 6;
  • 27) 0,048 380 313 6 × 2 = 0 + 0,096 760 627 2;
  • 28) 0,096 760 627 2 × 2 = 0 + 0,193 521 254 4;
  • 29) 0,193 521 254 4 × 2 = 0 + 0,387 042 508 8;
  • 30) 0,387 042 508 8 × 2 = 0 + 0,774 085 017 6;
  • 31) 0,774 085 017 6 × 2 = 1 + 0,548 170 035 2;
  • 32) 0,548 170 035 2 × 2 = 1 + 0,096 340 070 4;
  • 33) 0,096 340 070 4 × 2 = 0 + 0,192 680 140 8;
  • 34) 0,192 680 140 8 × 2 = 0 + 0,385 360 281 6;
  • 35) 0,385 360 281 6 × 2 = 0 + 0,770 720 563 2;
  • 36) 0,770 720 563 2 × 2 = 1 + 0,541 441 126 4;
  • 37) 0,541 441 126 4 × 2 = 1 + 0,082 882 252 8;
  • 38) 0,082 882 252 8 × 2 = 0 + 0,165 764 505 6;
  • 39) 0,165 764 505 6 × 2 = 0 + 0,331 529 011 2;
  • 40) 0,331 529 011 2 × 2 = 0 + 0,663 058 022 4;
  • 41) 0,663 058 022 4 × 2 = 1 + 0,326 116 044 8;
  • 42) 0,326 116 044 8 × 2 = 0 + 0,652 232 089 6;
  • 43) 0,652 232 089 6 × 2 = 1 + 0,304 464 179 2;
  • 44) 0,304 464 179 2 × 2 = 0 + 0,608 928 358 4;
  • 45) 0,608 928 358 4 × 2 = 1 + 0,217 856 716 8;
  • 46) 0,217 856 716 8 × 2 = 0 + 0,435 713 433 6;
  • 47) 0,435 713 433 6 × 2 = 0 + 0,871 426 867 2;
  • 48) 0,871 426 867 2 × 2 = 1 + 0,742 853 734 4;
  • 49) 0,742 853 734 4 × 2 = 1 + 0,485 707 468 8;
  • 50) 0,485 707 468 8 × 2 = 0 + 0,971 414 937 6;
  • 51) 0,971 414 937 6 × 2 = 1 + 0,942 829 875 2;
  • 52) 0,942 829 875 2 × 2 = 1 + 0,885 659 750 4;
  • 53) 0,885 659 750 4 × 2 = 1 + 0,771 319 500 8;
  • 54) 0,771 319 500 8 × 2 = 1 + 0,542 639 001 6;
  • 55) 0,542 639 001 6 × 2 = 1 + 0,085 278 003 2;
  • 56) 0,085 278 003 2 × 2 = 0 + 0,170 556 006 4;
  • 57) 0,170 556 006 4 × 2 = 0 + 0,341 112 012 8;
  • 58) 0,341 112 012 8 × 2 = 0 + 0,682 224 025 6;
  • 59) 0,682 224 025 6 × 2 = 1 + 0,364 448 051 2;
  • 60) 0,364 448 051 2 × 2 = 0 + 0,728 896 102 4;
  • 61) 0,728 896 102 4 × 2 = 1 + 0,457 792 204 8;
  • 62) 0,457 792 204 8 × 2 = 0 + 0,915 584 409 6;
  • 63) 0,915 584 409 6 × 2 = 1 + 0,831 168 819 2;
  • 64) 0,831 168 819 2 × 2 = 1 + 0,662 337 638 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 049 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0000 0011 0001 1000 1010 1001 1011 1110 0010 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 049 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0000 0011 0001 1000 1010 1001 1011 1110 0010 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 049 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0000 0011 0001 1000 1010 1001 1011 1110 0010 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0000 0011 0001 1000 1010 1001 1011 1110 0010 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1100 0000 0011 0001 1000 1010 1001 1011 1110 0010 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1100 0000 0011 0001 1000 1010 1001 1011 1110 0010 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1100 0000 0011 0001 1000 1010 1001 1011 1110 0010 1011 =

0010 0111 1100 0000 0011 0001 1000 1010 1001 1011 1110 0010 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1100 0000 0011 0001 1000 1010 1001 1011 1110 0010 1011


Numărul zecimal -0,000 282 049 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1100 0000 0011 0001 1000 1010 1001 1011 1110 0010 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 041 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100