-0,000 282 050 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 050 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 050 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 050 9| = 0,000 282 050 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 050 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 050 9 × 2 = 0 + 0,000 564 101 8;
  • 2) 0,000 564 101 8 × 2 = 0 + 0,001 128 203 6;
  • 3) 0,001 128 203 6 × 2 = 0 + 0,002 256 407 2;
  • 4) 0,002 256 407 2 × 2 = 0 + 0,004 512 814 4;
  • 5) 0,004 512 814 4 × 2 = 0 + 0,009 025 628 8;
  • 6) 0,009 025 628 8 × 2 = 0 + 0,018 051 257 6;
  • 7) 0,018 051 257 6 × 2 = 0 + 0,036 102 515 2;
  • 8) 0,036 102 515 2 × 2 = 0 + 0,072 205 030 4;
  • 9) 0,072 205 030 4 × 2 = 0 + 0,144 410 060 8;
  • 10) 0,144 410 060 8 × 2 = 0 + 0,288 820 121 6;
  • 11) 0,288 820 121 6 × 2 = 0 + 0,577 640 243 2;
  • 12) 0,577 640 243 2 × 2 = 1 + 0,155 280 486 4;
  • 13) 0,155 280 486 4 × 2 = 0 + 0,310 560 972 8;
  • 14) 0,310 560 972 8 × 2 = 0 + 0,621 121 945 6;
  • 15) 0,621 121 945 6 × 2 = 1 + 0,242 243 891 2;
  • 16) 0,242 243 891 2 × 2 = 0 + 0,484 487 782 4;
  • 17) 0,484 487 782 4 × 2 = 0 + 0,968 975 564 8;
  • 18) 0,968 975 564 8 × 2 = 1 + 0,937 951 129 6;
  • 19) 0,937 951 129 6 × 2 = 1 + 0,875 902 259 2;
  • 20) 0,875 902 259 2 × 2 = 1 + 0,751 804 518 4;
  • 21) 0,751 804 518 4 × 2 = 1 + 0,503 609 036 8;
  • 22) 0,503 609 036 8 × 2 = 1 + 0,007 218 073 6;
  • 23) 0,007 218 073 6 × 2 = 0 + 0,014 436 147 2;
  • 24) 0,014 436 147 2 × 2 = 0 + 0,028 872 294 4;
  • 25) 0,028 872 294 4 × 2 = 0 + 0,057 744 588 8;
  • 26) 0,057 744 588 8 × 2 = 0 + 0,115 489 177 6;
  • 27) 0,115 489 177 6 × 2 = 0 + 0,230 978 355 2;
  • 28) 0,230 978 355 2 × 2 = 0 + 0,461 956 710 4;
  • 29) 0,461 956 710 4 × 2 = 0 + 0,923 913 420 8;
  • 30) 0,923 913 420 8 × 2 = 1 + 0,847 826 841 6;
  • 31) 0,847 826 841 6 × 2 = 1 + 0,695 653 683 2;
  • 32) 0,695 653 683 2 × 2 = 1 + 0,391 307 366 4;
  • 33) 0,391 307 366 4 × 2 = 0 + 0,782 614 732 8;
  • 34) 0,782 614 732 8 × 2 = 1 + 0,565 229 465 6;
  • 35) 0,565 229 465 6 × 2 = 1 + 0,130 458 931 2;
  • 36) 0,130 458 931 2 × 2 = 0 + 0,260 917 862 4;
  • 37) 0,260 917 862 4 × 2 = 0 + 0,521 835 724 8;
  • 38) 0,521 835 724 8 × 2 = 1 + 0,043 671 449 6;
  • 39) 0,043 671 449 6 × 2 = 0 + 0,087 342 899 2;
  • 40) 0,087 342 899 2 × 2 = 0 + 0,174 685 798 4;
  • 41) 0,174 685 798 4 × 2 = 0 + 0,349 371 596 8;
  • 42) 0,349 371 596 8 × 2 = 0 + 0,698 743 193 6;
  • 43) 0,698 743 193 6 × 2 = 1 + 0,397 486 387 2;
  • 44) 0,397 486 387 2 × 2 = 0 + 0,794 972 774 4;
  • 45) 0,794 972 774 4 × 2 = 1 + 0,589 945 548 8;
  • 46) 0,589 945 548 8 × 2 = 1 + 0,179 891 097 6;
  • 47) 0,179 891 097 6 × 2 = 0 + 0,359 782 195 2;
  • 48) 0,359 782 195 2 × 2 = 0 + 0,719 564 390 4;
  • 49) 0,719 564 390 4 × 2 = 1 + 0,439 128 780 8;
  • 50) 0,439 128 780 8 × 2 = 0 + 0,878 257 561 6;
  • 51) 0,878 257 561 6 × 2 = 1 + 0,756 515 123 2;
  • 52) 0,756 515 123 2 × 2 = 1 + 0,513 030 246 4;
  • 53) 0,513 030 246 4 × 2 = 1 + 0,026 060 492 8;
  • 54) 0,026 060 492 8 × 2 = 0 + 0,052 120 985 6;
  • 55) 0,052 120 985 6 × 2 = 0 + 0,104 241 971 2;
  • 56) 0,104 241 971 2 × 2 = 0 + 0,208 483 942 4;
  • 57) 0,208 483 942 4 × 2 = 0 + 0,416 967 884 8;
  • 58) 0,416 967 884 8 × 2 = 0 + 0,833 935 769 6;
  • 59) 0,833 935 769 6 × 2 = 1 + 0,667 871 539 2;
  • 60) 0,667 871 539 2 × 2 = 1 + 0,335 743 078 4;
  • 61) 0,335 743 078 4 × 2 = 0 + 0,671 486 156 8;
  • 62) 0,671 486 156 8 × 2 = 1 + 0,342 972 313 6;
  • 63) 0,342 972 313 6 × 2 = 0 + 0,685 944 627 2;
  • 64) 0,685 944 627 2 × 2 = 1 + 0,371 889 254 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 050 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0000 0111 0110 0100 0010 1100 1011 1000 0011 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 050 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0000 0111 0110 0100 0010 1100 1011 1000 0011 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 050 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0000 0111 0110 0100 0010 1100 1011 1000 0011 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0000 0111 0110 0100 0010 1100 1011 1000 0011 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1100 0000 0111 0110 0100 0010 1100 1011 1000 0011 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1100 0000 0111 0110 0100 0010 1100 1011 1000 0011 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1100 0000 0111 0110 0100 0010 1100 1011 1000 0011 0101 =

0010 0111 1100 0000 0111 0110 0100 0010 1100 1011 1000 0011 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1100 0000 0111 0110 0100 0010 1100 1011 1000 0011 0101


Numărul zecimal -0,000 282 050 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1100 0000 0111 0110 0100 0010 1100 1011 1000 0011 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 06 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100