-0,000 282 055 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 055 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 055 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 055 6| = 0,000 282 055 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 055 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 055 6 × 2 = 0 + 0,000 564 111 2;
  • 2) 0,000 564 111 2 × 2 = 0 + 0,001 128 222 4;
  • 3) 0,001 128 222 4 × 2 = 0 + 0,002 256 444 8;
  • 4) 0,002 256 444 8 × 2 = 0 + 0,004 512 889 6;
  • 5) 0,004 512 889 6 × 2 = 0 + 0,009 025 779 2;
  • 6) 0,009 025 779 2 × 2 = 0 + 0,018 051 558 4;
  • 7) 0,018 051 558 4 × 2 = 0 + 0,036 103 116 8;
  • 8) 0,036 103 116 8 × 2 = 0 + 0,072 206 233 6;
  • 9) 0,072 206 233 6 × 2 = 0 + 0,144 412 467 2;
  • 10) 0,144 412 467 2 × 2 = 0 + 0,288 824 934 4;
  • 11) 0,288 824 934 4 × 2 = 0 + 0,577 649 868 8;
  • 12) 0,577 649 868 8 × 2 = 1 + 0,155 299 737 6;
  • 13) 0,155 299 737 6 × 2 = 0 + 0,310 599 475 2;
  • 14) 0,310 599 475 2 × 2 = 0 + 0,621 198 950 4;
  • 15) 0,621 198 950 4 × 2 = 1 + 0,242 397 900 8;
  • 16) 0,242 397 900 8 × 2 = 0 + 0,484 795 801 6;
  • 17) 0,484 795 801 6 × 2 = 0 + 0,969 591 603 2;
  • 18) 0,969 591 603 2 × 2 = 1 + 0,939 183 206 4;
  • 19) 0,939 183 206 4 × 2 = 1 + 0,878 366 412 8;
  • 20) 0,878 366 412 8 × 2 = 1 + 0,756 732 825 6;
  • 21) 0,756 732 825 6 × 2 = 1 + 0,513 465 651 2;
  • 22) 0,513 465 651 2 × 2 = 1 + 0,026 931 302 4;
  • 23) 0,026 931 302 4 × 2 = 0 + 0,053 862 604 8;
  • 24) 0,053 862 604 8 × 2 = 0 + 0,107 725 209 6;
  • 25) 0,107 725 209 6 × 2 = 0 + 0,215 450 419 2;
  • 26) 0,215 450 419 2 × 2 = 0 + 0,430 900 838 4;
  • 27) 0,430 900 838 4 × 2 = 0 + 0,861 801 676 8;
  • 28) 0,861 801 676 8 × 2 = 1 + 0,723 603 353 6;
  • 29) 0,723 603 353 6 × 2 = 1 + 0,447 206 707 2;
  • 30) 0,447 206 707 2 × 2 = 0 + 0,894 413 414 4;
  • 31) 0,894 413 414 4 × 2 = 1 + 0,788 826 828 8;
  • 32) 0,788 826 828 8 × 2 = 1 + 0,577 653 657 6;
  • 33) 0,577 653 657 6 × 2 = 1 + 0,155 307 315 2;
  • 34) 0,155 307 315 2 × 2 = 0 + 0,310 614 630 4;
  • 35) 0,310 614 630 4 × 2 = 0 + 0,621 229 260 8;
  • 36) 0,621 229 260 8 × 2 = 1 + 0,242 458 521 6;
  • 37) 0,242 458 521 6 × 2 = 0 + 0,484 917 043 2;
  • 38) 0,484 917 043 2 × 2 = 0 + 0,969 834 086 4;
  • 39) 0,969 834 086 4 × 2 = 1 + 0,939 668 172 8;
  • 40) 0,939 668 172 8 × 2 = 1 + 0,879 336 345 6;
  • 41) 0,879 336 345 6 × 2 = 1 + 0,758 672 691 2;
  • 42) 0,758 672 691 2 × 2 = 1 + 0,517 345 382 4;
  • 43) 0,517 345 382 4 × 2 = 1 + 0,034 690 764 8;
  • 44) 0,034 690 764 8 × 2 = 0 + 0,069 381 529 6;
  • 45) 0,069 381 529 6 × 2 = 0 + 0,138 763 059 2;
  • 46) 0,138 763 059 2 × 2 = 0 + 0,277 526 118 4;
  • 47) 0,277 526 118 4 × 2 = 0 + 0,555 052 236 8;
  • 48) 0,555 052 236 8 × 2 = 1 + 0,110 104 473 6;
  • 49) 0,110 104 473 6 × 2 = 0 + 0,220 208 947 2;
  • 50) 0,220 208 947 2 × 2 = 0 + 0,440 417 894 4;
  • 51) 0,440 417 894 4 × 2 = 0 + 0,880 835 788 8;
  • 52) 0,880 835 788 8 × 2 = 1 + 0,761 671 577 6;
  • 53) 0,761 671 577 6 × 2 = 1 + 0,523 343 155 2;
  • 54) 0,523 343 155 2 × 2 = 1 + 0,046 686 310 4;
  • 55) 0,046 686 310 4 × 2 = 0 + 0,093 372 620 8;
  • 56) 0,093 372 620 8 × 2 = 0 + 0,186 745 241 6;
  • 57) 0,186 745 241 6 × 2 = 0 + 0,373 490 483 2;
  • 58) 0,373 490 483 2 × 2 = 0 + 0,746 980 966 4;
  • 59) 0,746 980 966 4 × 2 = 1 + 0,493 961 932 8;
  • 60) 0,493 961 932 8 × 2 = 0 + 0,987 923 865 6;
  • 61) 0,987 923 865 6 × 2 = 1 + 0,975 847 731 2;
  • 62) 0,975 847 731 2 × 2 = 1 + 0,951 695 462 4;
  • 63) 0,951 695 462 4 × 2 = 1 + 0,903 390 924 8;
  • 64) 0,903 390 924 8 × 2 = 1 + 0,806 781 849 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 055 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0001 1011 1001 0011 1110 0001 0001 1100 0010 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 055 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0001 1011 1001 0011 1110 0001 0001 1100 0010 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 055 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0001 1011 1001 0011 1110 0001 0001 1100 0010 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0001 1011 1001 0011 1110 0001 0001 1100 0010 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1100 0001 1011 1001 0011 1110 0001 0001 1100 0010 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1100 0001 1011 1001 0011 1110 0001 0001 1100 0010 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1100 0001 1011 1001 0011 1110 0001 0001 1100 0010 1111 =

0010 0111 1100 0001 1011 1001 0011 1110 0001 0001 1100 0010 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1100 0001 1011 1001 0011 1110 0001 0001 1100 0010 1111


Numărul zecimal -0,000 282 055 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1100 0001 1011 1001 0011 1110 0001 0001 1100 0010 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 057 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100