-0,000 282 057 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 057 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 057 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 057 7| = 0,000 282 057 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 057 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 057 7 × 2 = 0 + 0,000 564 115 4;
  • 2) 0,000 564 115 4 × 2 = 0 + 0,001 128 230 8;
  • 3) 0,001 128 230 8 × 2 = 0 + 0,002 256 461 6;
  • 4) 0,002 256 461 6 × 2 = 0 + 0,004 512 923 2;
  • 5) 0,004 512 923 2 × 2 = 0 + 0,009 025 846 4;
  • 6) 0,009 025 846 4 × 2 = 0 + 0,018 051 692 8;
  • 7) 0,018 051 692 8 × 2 = 0 + 0,036 103 385 6;
  • 8) 0,036 103 385 6 × 2 = 0 + 0,072 206 771 2;
  • 9) 0,072 206 771 2 × 2 = 0 + 0,144 413 542 4;
  • 10) 0,144 413 542 4 × 2 = 0 + 0,288 827 084 8;
  • 11) 0,288 827 084 8 × 2 = 0 + 0,577 654 169 6;
  • 12) 0,577 654 169 6 × 2 = 1 + 0,155 308 339 2;
  • 13) 0,155 308 339 2 × 2 = 0 + 0,310 616 678 4;
  • 14) 0,310 616 678 4 × 2 = 0 + 0,621 233 356 8;
  • 15) 0,621 233 356 8 × 2 = 1 + 0,242 466 713 6;
  • 16) 0,242 466 713 6 × 2 = 0 + 0,484 933 427 2;
  • 17) 0,484 933 427 2 × 2 = 0 + 0,969 866 854 4;
  • 18) 0,969 866 854 4 × 2 = 1 + 0,939 733 708 8;
  • 19) 0,939 733 708 8 × 2 = 1 + 0,879 467 417 6;
  • 20) 0,879 467 417 6 × 2 = 1 + 0,758 934 835 2;
  • 21) 0,758 934 835 2 × 2 = 1 + 0,517 869 670 4;
  • 22) 0,517 869 670 4 × 2 = 1 + 0,035 739 340 8;
  • 23) 0,035 739 340 8 × 2 = 0 + 0,071 478 681 6;
  • 24) 0,071 478 681 6 × 2 = 0 + 0,142 957 363 2;
  • 25) 0,142 957 363 2 × 2 = 0 + 0,285 914 726 4;
  • 26) 0,285 914 726 4 × 2 = 0 + 0,571 829 452 8;
  • 27) 0,571 829 452 8 × 2 = 1 + 0,143 658 905 6;
  • 28) 0,143 658 905 6 × 2 = 0 + 0,287 317 811 2;
  • 29) 0,287 317 811 2 × 2 = 0 + 0,574 635 622 4;
  • 30) 0,574 635 622 4 × 2 = 1 + 0,149 271 244 8;
  • 31) 0,149 271 244 8 × 2 = 0 + 0,298 542 489 6;
  • 32) 0,298 542 489 6 × 2 = 0 + 0,597 084 979 2;
  • 33) 0,597 084 979 2 × 2 = 1 + 0,194 169 958 4;
  • 34) 0,194 169 958 4 × 2 = 0 + 0,388 339 916 8;
  • 35) 0,388 339 916 8 × 2 = 0 + 0,776 679 833 6;
  • 36) 0,776 679 833 6 × 2 = 1 + 0,553 359 667 2;
  • 37) 0,553 359 667 2 × 2 = 1 + 0,106 719 334 4;
  • 38) 0,106 719 334 4 × 2 = 0 + 0,213 438 668 8;
  • 39) 0,213 438 668 8 × 2 = 0 + 0,426 877 337 6;
  • 40) 0,426 877 337 6 × 2 = 0 + 0,853 754 675 2;
  • 41) 0,853 754 675 2 × 2 = 1 + 0,707 509 350 4;
  • 42) 0,707 509 350 4 × 2 = 1 + 0,415 018 700 8;
  • 43) 0,415 018 700 8 × 2 = 0 + 0,830 037 401 6;
  • 44) 0,830 037 401 6 × 2 = 1 + 0,660 074 803 2;
  • 45) 0,660 074 803 2 × 2 = 1 + 0,320 149 606 4;
  • 46) 0,320 149 606 4 × 2 = 0 + 0,640 299 212 8;
  • 47) 0,640 299 212 8 × 2 = 1 + 0,280 598 425 6;
  • 48) 0,280 598 425 6 × 2 = 0 + 0,561 196 851 2;
  • 49) 0,561 196 851 2 × 2 = 1 + 0,122 393 702 4;
  • 50) 0,122 393 702 4 × 2 = 0 + 0,244 787 404 8;
  • 51) 0,244 787 404 8 × 2 = 0 + 0,489 574 809 6;
  • 52) 0,489 574 809 6 × 2 = 0 + 0,979 149 619 2;
  • 53) 0,979 149 619 2 × 2 = 1 + 0,958 299 238 4;
  • 54) 0,958 299 238 4 × 2 = 1 + 0,916 598 476 8;
  • 55) 0,916 598 476 8 × 2 = 1 + 0,833 196 953 6;
  • 56) 0,833 196 953 6 × 2 = 1 + 0,666 393 907 2;
  • 57) 0,666 393 907 2 × 2 = 1 + 0,332 787 814 4;
  • 58) 0,332 787 814 4 × 2 = 0 + 0,665 575 628 8;
  • 59) 0,665 575 628 8 × 2 = 1 + 0,331 151 257 6;
  • 60) 0,331 151 257 6 × 2 = 0 + 0,662 302 515 2;
  • 61) 0,662 302 515 2 × 2 = 1 + 0,324 605 030 4;
  • 62) 0,324 605 030 4 × 2 = 0 + 0,649 210 060 8;
  • 63) 0,649 210 060 8 × 2 = 1 + 0,298 420 121 6;
  • 64) 0,298 420 121 6 × 2 = 0 + 0,596 840 243 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 057 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0010 0100 1001 1000 1101 1010 1000 1111 1010 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 057 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0010 0100 1001 1000 1101 1010 1000 1111 1010 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 057 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0010 0100 1001 1000 1101 1010 1000 1111 1010 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1100 0010 0100 1001 1000 1101 1010 1000 1111 1010 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1100 0010 0100 1001 1000 1101 1010 1000 1111 1010 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1100 0010 0100 1001 1000 1101 1010 1000 1111 1010 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1100 0010 0100 1001 1000 1101 1010 1000 1111 1010 1010 =

0010 0111 1100 0010 0100 1001 1000 1101 1010 1000 1111 1010 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1100 0010 0100 1001 1000 1101 1010 1000 1111 1010 1010


Numărul zecimal -0,000 282 057 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1100 0010 0100 1001 1000 1101 1010 1000 1111 1010 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 065 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100