-0,000 323 037 664 89 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 323 037 664 89(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 323 037 664 89(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 323 037 664 89| = 0,000 323 037 664 89


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 323 037 664 89.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 323 037 664 89 × 2 = 0 + 0,000 646 075 329 78;
  • 2) 0,000 646 075 329 78 × 2 = 0 + 0,001 292 150 659 56;
  • 3) 0,001 292 150 659 56 × 2 = 0 + 0,002 584 301 319 12;
  • 4) 0,002 584 301 319 12 × 2 = 0 + 0,005 168 602 638 24;
  • 5) 0,005 168 602 638 24 × 2 = 0 + 0,010 337 205 276 48;
  • 6) 0,010 337 205 276 48 × 2 = 0 + 0,020 674 410 552 96;
  • 7) 0,020 674 410 552 96 × 2 = 0 + 0,041 348 821 105 92;
  • 8) 0,041 348 821 105 92 × 2 = 0 + 0,082 697 642 211 84;
  • 9) 0,082 697 642 211 84 × 2 = 0 + 0,165 395 284 423 68;
  • 10) 0,165 395 284 423 68 × 2 = 0 + 0,330 790 568 847 36;
  • 11) 0,330 790 568 847 36 × 2 = 0 + 0,661 581 137 694 72;
  • 12) 0,661 581 137 694 72 × 2 = 1 + 0,323 162 275 389 44;
  • 13) 0,323 162 275 389 44 × 2 = 0 + 0,646 324 550 778 88;
  • 14) 0,646 324 550 778 88 × 2 = 1 + 0,292 649 101 557 76;
  • 15) 0,292 649 101 557 76 × 2 = 0 + 0,585 298 203 115 52;
  • 16) 0,585 298 203 115 52 × 2 = 1 + 0,170 596 406 231 04;
  • 17) 0,170 596 406 231 04 × 2 = 0 + 0,341 192 812 462 08;
  • 18) 0,341 192 812 462 08 × 2 = 0 + 0,682 385 624 924 16;
  • 19) 0,682 385 624 924 16 × 2 = 1 + 0,364 771 249 848 32;
  • 20) 0,364 771 249 848 32 × 2 = 0 + 0,729 542 499 696 64;
  • 21) 0,729 542 499 696 64 × 2 = 1 + 0,459 084 999 393 28;
  • 22) 0,459 084 999 393 28 × 2 = 0 + 0,918 169 998 786 56;
  • 23) 0,918 169 998 786 56 × 2 = 1 + 0,836 339 997 573 12;
  • 24) 0,836 339 997 573 12 × 2 = 1 + 0,672 679 995 146 24;
  • 25) 0,672 679 995 146 24 × 2 = 1 + 0,345 359 990 292 48;
  • 26) 0,345 359 990 292 48 × 2 = 0 + 0,690 719 980 584 96;
  • 27) 0,690 719 980 584 96 × 2 = 1 + 0,381 439 961 169 92;
  • 28) 0,381 439 961 169 92 × 2 = 0 + 0,762 879 922 339 84;
  • 29) 0,762 879 922 339 84 × 2 = 1 + 0,525 759 844 679 68;
  • 30) 0,525 759 844 679 68 × 2 = 1 + 0,051 519 689 359 36;
  • 31) 0,051 519 689 359 36 × 2 = 0 + 0,103 039 378 718 72;
  • 32) 0,103 039 378 718 72 × 2 = 0 + 0,206 078 757 437 44;
  • 33) 0,206 078 757 437 44 × 2 = 0 + 0,412 157 514 874 88;
  • 34) 0,412 157 514 874 88 × 2 = 0 + 0,824 315 029 749 76;
  • 35) 0,824 315 029 749 76 × 2 = 1 + 0,648 630 059 499 52;
  • 36) 0,648 630 059 499 52 × 2 = 1 + 0,297 260 118 999 04;
  • 37) 0,297 260 118 999 04 × 2 = 0 + 0,594 520 237 998 08;
  • 38) 0,594 520 237 998 08 × 2 = 1 + 0,189 040 475 996 16;
  • 39) 0,189 040 475 996 16 × 2 = 0 + 0,378 080 951 992 32;
  • 40) 0,378 080 951 992 32 × 2 = 0 + 0,756 161 903 984 64;
  • 41) 0,756 161 903 984 64 × 2 = 1 + 0,512 323 807 969 28;
  • 42) 0,512 323 807 969 28 × 2 = 1 + 0,024 647 615 938 56;
  • 43) 0,024 647 615 938 56 × 2 = 0 + 0,049 295 231 877 12;
  • 44) 0,049 295 231 877 12 × 2 = 0 + 0,098 590 463 754 24;
  • 45) 0,098 590 463 754 24 × 2 = 0 + 0,197 180 927 508 48;
  • 46) 0,197 180 927 508 48 × 2 = 0 + 0,394 361 855 016 96;
  • 47) 0,394 361 855 016 96 × 2 = 0 + 0,788 723 710 033 92;
  • 48) 0,788 723 710 033 92 × 2 = 1 + 0,577 447 420 067 84;
  • 49) 0,577 447 420 067 84 × 2 = 1 + 0,154 894 840 135 68;
  • 50) 0,154 894 840 135 68 × 2 = 0 + 0,309 789 680 271 36;
  • 51) 0,309 789 680 271 36 × 2 = 0 + 0,619 579 360 542 72;
  • 52) 0,619 579 360 542 72 × 2 = 1 + 0,239 158 721 085 44;
  • 53) 0,239 158 721 085 44 × 2 = 0 + 0,478 317 442 170 88;
  • 54) 0,478 317 442 170 88 × 2 = 0 + 0,956 634 884 341 76;
  • 55) 0,956 634 884 341 76 × 2 = 1 + 0,913 269 768 683 52;
  • 56) 0,913 269 768 683 52 × 2 = 1 + 0,826 539 537 367 04;
  • 57) 0,826 539 537 367 04 × 2 = 1 + 0,653 079 074 734 08;
  • 58) 0,653 079 074 734 08 × 2 = 1 + 0,306 158 149 468 16;
  • 59) 0,306 158 149 468 16 × 2 = 0 + 0,612 316 298 936 32;
  • 60) 0,612 316 298 936 32 × 2 = 1 + 0,224 632 597 872 64;
  • 61) 0,224 632 597 872 64 × 2 = 0 + 0,449 265 195 745 28;
  • 62) 0,449 265 195 745 28 × 2 = 0 + 0,898 530 391 490 56;
  • 63) 0,898 530 391 490 56 × 2 = 1 + 0,797 060 782 981 12;
  • 64) 0,797 060 782 981 12 × 2 = 1 + 0,594 121 565 962 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 323 037 664 89(10) =

0,0000 0000 0001 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0100 1100 0001 1001 0011 1101 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 323 037 664 89(10) =

0,0000 0000 0001 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0100 1100 0001 1001 0011 1101 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 323 037 664 89(10) =

0,0000 0000 0001 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0100 1100 0001 1001 0011 1101 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0100 1100 0001 1001 0011 1101 0011(2) × 20 =

1,0101 0010 1011 1010 1100 0011 0100 1100 0001 1001 0011 1101 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0010 1011 1010 1100 0011 0100 1100 0001 1001 0011 1101 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0100 1100 0001 1001 0011 1101 0011 =

0101 0010 1011 1010 1100 0011 0100 1100 0001 1001 0011 1101 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0101 0010 1011 1010 1100 0011 0100 1100 0001 1001 0011 1101 0011


Numărul zecimal -0,000 323 037 664 89 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0100 1100 0001 1001 0011 1101 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 323 037 664 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100