-0,000 339 311 66 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 339 311 66(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 339 311 66(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 339 311 66| = 0,000 339 311 66


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 339 311 66.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 339 311 66 × 2 = 0 + 0,000 678 623 32;
  • 2) 0,000 678 623 32 × 2 = 0 + 0,001 357 246 64;
  • 3) 0,001 357 246 64 × 2 = 0 + 0,002 714 493 28;
  • 4) 0,002 714 493 28 × 2 = 0 + 0,005 428 986 56;
  • 5) 0,005 428 986 56 × 2 = 0 + 0,010 857 973 12;
  • 6) 0,010 857 973 12 × 2 = 0 + 0,021 715 946 24;
  • 7) 0,021 715 946 24 × 2 = 0 + 0,043 431 892 48;
  • 8) 0,043 431 892 48 × 2 = 0 + 0,086 863 784 96;
  • 9) 0,086 863 784 96 × 2 = 0 + 0,173 727 569 92;
  • 10) 0,173 727 569 92 × 2 = 0 + 0,347 455 139 84;
  • 11) 0,347 455 139 84 × 2 = 0 + 0,694 910 279 68;
  • 12) 0,694 910 279 68 × 2 = 1 + 0,389 820 559 36;
  • 13) 0,389 820 559 36 × 2 = 0 + 0,779 641 118 72;
  • 14) 0,779 641 118 72 × 2 = 1 + 0,559 282 237 44;
  • 15) 0,559 282 237 44 × 2 = 1 + 0,118 564 474 88;
  • 16) 0,118 564 474 88 × 2 = 0 + 0,237 128 949 76;
  • 17) 0,237 128 949 76 × 2 = 0 + 0,474 257 899 52;
  • 18) 0,474 257 899 52 × 2 = 0 + 0,948 515 799 04;
  • 19) 0,948 515 799 04 × 2 = 1 + 0,897 031 598 08;
  • 20) 0,897 031 598 08 × 2 = 1 + 0,794 063 196 16;
  • 21) 0,794 063 196 16 × 2 = 1 + 0,588 126 392 32;
  • 22) 0,588 126 392 32 × 2 = 1 + 0,176 252 784 64;
  • 23) 0,176 252 784 64 × 2 = 0 + 0,352 505 569 28;
  • 24) 0,352 505 569 28 × 2 = 0 + 0,705 011 138 56;
  • 25) 0,705 011 138 56 × 2 = 1 + 0,410 022 277 12;
  • 26) 0,410 022 277 12 × 2 = 0 + 0,820 044 554 24;
  • 27) 0,820 044 554 24 × 2 = 1 + 0,640 089 108 48;
  • 28) 0,640 089 108 48 × 2 = 1 + 0,280 178 216 96;
  • 29) 0,280 178 216 96 × 2 = 0 + 0,560 356 433 92;
  • 30) 0,560 356 433 92 × 2 = 1 + 0,120 712 867 84;
  • 31) 0,120 712 867 84 × 2 = 0 + 0,241 425 735 68;
  • 32) 0,241 425 735 68 × 2 = 0 + 0,482 851 471 36;
  • 33) 0,482 851 471 36 × 2 = 0 + 0,965 702 942 72;
  • 34) 0,965 702 942 72 × 2 = 1 + 0,931 405 885 44;
  • 35) 0,931 405 885 44 × 2 = 1 + 0,862 811 770 88;
  • 36) 0,862 811 770 88 × 2 = 1 + 0,725 623 541 76;
  • 37) 0,725 623 541 76 × 2 = 1 + 0,451 247 083 52;
  • 38) 0,451 247 083 52 × 2 = 0 + 0,902 494 167 04;
  • 39) 0,902 494 167 04 × 2 = 1 + 0,804 988 334 08;
  • 40) 0,804 988 334 08 × 2 = 1 + 0,609 976 668 16;
  • 41) 0,609 976 668 16 × 2 = 1 + 0,219 953 336 32;
  • 42) 0,219 953 336 32 × 2 = 0 + 0,439 906 672 64;
  • 43) 0,439 906 672 64 × 2 = 0 + 0,879 813 345 28;
  • 44) 0,879 813 345 28 × 2 = 1 + 0,759 626 690 56;
  • 45) 0,759 626 690 56 × 2 = 1 + 0,519 253 381 12;
  • 46) 0,519 253 381 12 × 2 = 1 + 0,038 506 762 24;
  • 47) 0,038 506 762 24 × 2 = 0 + 0,077 013 524 48;
  • 48) 0,077 013 524 48 × 2 = 0 + 0,154 027 048 96;
  • 49) 0,154 027 048 96 × 2 = 0 + 0,308 054 097 92;
  • 50) 0,308 054 097 92 × 2 = 0 + 0,616 108 195 84;
  • 51) 0,616 108 195 84 × 2 = 1 + 0,232 216 391 68;
  • 52) 0,232 216 391 68 × 2 = 0 + 0,464 432 783 36;
  • 53) 0,464 432 783 36 × 2 = 0 + 0,928 865 566 72;
  • 54) 0,928 865 566 72 × 2 = 1 + 0,857 731 133 44;
  • 55) 0,857 731 133 44 × 2 = 1 + 0,715 462 266 88;
  • 56) 0,715 462 266 88 × 2 = 1 + 0,430 924 533 76;
  • 57) 0,430 924 533 76 × 2 = 0 + 0,861 849 067 52;
  • 58) 0,861 849 067 52 × 2 = 1 + 0,723 698 135 04;
  • 59) 0,723 698 135 04 × 2 = 1 + 0,447 396 270 08;
  • 60) 0,447 396 270 08 × 2 = 0 + 0,894 792 540 16;
  • 61) 0,894 792 540 16 × 2 = 1 + 0,789 585 080 32;
  • 62) 0,789 585 080 32 × 2 = 1 + 0,579 170 160 64;
  • 63) 0,579 170 160 64 × 2 = 1 + 0,158 340 321 28;
  • 64) 0,158 340 321 28 × 2 = 0 + 0,316 680 642 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 339 311 66(10) =

0,0000 0000 0001 0110 0011 1100 1011 0100 0111 1011 1001 1100 0010 0111 0110 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 339 311 66(10) =

0,0000 0000 0001 0110 0011 1100 1011 0100 0111 1011 1001 1100 0010 0111 0110 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 339 311 66(10) =

0,0000 0000 0001 0110 0011 1100 1011 0100 0111 1011 1001 1100 0010 0111 0110 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0110 0011 1100 1011 0100 0111 1011 1001 1100 0010 0111 0110 1110(2) × 20 =

1,0110 0011 1100 1011 0100 0111 1011 1001 1100 0010 0111 0110 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0011 1100 1011 0100 0111 1011 1001 1100 0010 0111 0110 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0011 1100 1011 0100 0111 1011 1001 1100 0010 0111 0110 1110 =

0110 0011 1100 1011 0100 0111 1011 1001 1100 0010 0111 0110 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0110 0011 1100 1011 0100 0111 1011 1001 1100 0010 0111 0110 1110


Numărul zecimal -0,000 339 311 66 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0110 0011 1100 1011 0100 0111 1011 1001 1100 0010 0111 0110 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 339 312 24 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100