-0,000 339 311 87 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 339 311 87(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 339 311 87(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 339 311 87| = 0,000 339 311 87


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 339 311 87.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 339 311 87 × 2 = 0 + 0,000 678 623 74;
  • 2) 0,000 678 623 74 × 2 = 0 + 0,001 357 247 48;
  • 3) 0,001 357 247 48 × 2 = 0 + 0,002 714 494 96;
  • 4) 0,002 714 494 96 × 2 = 0 + 0,005 428 989 92;
  • 5) 0,005 428 989 92 × 2 = 0 + 0,010 857 979 84;
  • 6) 0,010 857 979 84 × 2 = 0 + 0,021 715 959 68;
  • 7) 0,021 715 959 68 × 2 = 0 + 0,043 431 919 36;
  • 8) 0,043 431 919 36 × 2 = 0 + 0,086 863 838 72;
  • 9) 0,086 863 838 72 × 2 = 0 + 0,173 727 677 44;
  • 10) 0,173 727 677 44 × 2 = 0 + 0,347 455 354 88;
  • 11) 0,347 455 354 88 × 2 = 0 + 0,694 910 709 76;
  • 12) 0,694 910 709 76 × 2 = 1 + 0,389 821 419 52;
  • 13) 0,389 821 419 52 × 2 = 0 + 0,779 642 839 04;
  • 14) 0,779 642 839 04 × 2 = 1 + 0,559 285 678 08;
  • 15) 0,559 285 678 08 × 2 = 1 + 0,118 571 356 16;
  • 16) 0,118 571 356 16 × 2 = 0 + 0,237 142 712 32;
  • 17) 0,237 142 712 32 × 2 = 0 + 0,474 285 424 64;
  • 18) 0,474 285 424 64 × 2 = 0 + 0,948 570 849 28;
  • 19) 0,948 570 849 28 × 2 = 1 + 0,897 141 698 56;
  • 20) 0,897 141 698 56 × 2 = 1 + 0,794 283 397 12;
  • 21) 0,794 283 397 12 × 2 = 1 + 0,588 566 794 24;
  • 22) 0,588 566 794 24 × 2 = 1 + 0,177 133 588 48;
  • 23) 0,177 133 588 48 × 2 = 0 + 0,354 267 176 96;
  • 24) 0,354 267 176 96 × 2 = 0 + 0,708 534 353 92;
  • 25) 0,708 534 353 92 × 2 = 1 + 0,417 068 707 84;
  • 26) 0,417 068 707 84 × 2 = 0 + 0,834 137 415 68;
  • 27) 0,834 137 415 68 × 2 = 1 + 0,668 274 831 36;
  • 28) 0,668 274 831 36 × 2 = 1 + 0,336 549 662 72;
  • 29) 0,336 549 662 72 × 2 = 0 + 0,673 099 325 44;
  • 30) 0,673 099 325 44 × 2 = 1 + 0,346 198 650 88;
  • 31) 0,346 198 650 88 × 2 = 0 + 0,692 397 301 76;
  • 32) 0,692 397 301 76 × 2 = 1 + 0,384 794 603 52;
  • 33) 0,384 794 603 52 × 2 = 0 + 0,769 589 207 04;
  • 34) 0,769 589 207 04 × 2 = 1 + 0,539 178 414 08;
  • 35) 0,539 178 414 08 × 2 = 1 + 0,078 356 828 16;
  • 36) 0,078 356 828 16 × 2 = 0 + 0,156 713 656 32;
  • 37) 0,156 713 656 32 × 2 = 0 + 0,313 427 312 64;
  • 38) 0,313 427 312 64 × 2 = 0 + 0,626 854 625 28;
  • 39) 0,626 854 625 28 × 2 = 1 + 0,253 709 250 56;
  • 40) 0,253 709 250 56 × 2 = 0 + 0,507 418 501 12;
  • 41) 0,507 418 501 12 × 2 = 1 + 0,014 837 002 24;
  • 42) 0,014 837 002 24 × 2 = 0 + 0,029 674 004 48;
  • 43) 0,029 674 004 48 × 2 = 0 + 0,059 348 008 96;
  • 44) 0,059 348 008 96 × 2 = 0 + 0,118 696 017 92;
  • 45) 0,118 696 017 92 × 2 = 0 + 0,237 392 035 84;
  • 46) 0,237 392 035 84 × 2 = 0 + 0,474 784 071 68;
  • 47) 0,474 784 071 68 × 2 = 0 + 0,949 568 143 36;
  • 48) 0,949 568 143 36 × 2 = 1 + 0,899 136 286 72;
  • 49) 0,899 136 286 72 × 2 = 1 + 0,798 272 573 44;
  • 50) 0,798 272 573 44 × 2 = 1 + 0,596 545 146 88;
  • 51) 0,596 545 146 88 × 2 = 1 + 0,193 090 293 76;
  • 52) 0,193 090 293 76 × 2 = 0 + 0,386 180 587 52;
  • 53) 0,386 180 587 52 × 2 = 0 + 0,772 361 175 04;
  • 54) 0,772 361 175 04 × 2 = 1 + 0,544 722 350 08;
  • 55) 0,544 722 350 08 × 2 = 1 + 0,089 444 700 16;
  • 56) 0,089 444 700 16 × 2 = 0 + 0,178 889 400 32;
  • 57) 0,178 889 400 32 × 2 = 0 + 0,357 778 800 64;
  • 58) 0,357 778 800 64 × 2 = 0 + 0,715 557 601 28;
  • 59) 0,715 557 601 28 × 2 = 1 + 0,431 115 202 56;
  • 60) 0,431 115 202 56 × 2 = 0 + 0,862 230 405 12;
  • 61) 0,862 230 405 12 × 2 = 1 + 0,724 460 810 24;
  • 62) 0,724 460 810 24 × 2 = 1 + 0,448 921 620 48;
  • 63) 0,448 921 620 48 × 2 = 0 + 0,897 843 240 96;
  • 64) 0,897 843 240 96 × 2 = 1 + 0,795 686 481 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 339 311 87(10) =

0,0000 0000 0001 0110 0011 1100 1011 0101 0110 0010 1000 0001 1110 0110 0010 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 339 311 87(10) =

0,0000 0000 0001 0110 0011 1100 1011 0101 0110 0010 1000 0001 1110 0110 0010 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 339 311 87(10) =

0,0000 0000 0001 0110 0011 1100 1011 0101 0110 0010 1000 0001 1110 0110 0010 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0110 0011 1100 1011 0101 0110 0010 1000 0001 1110 0110 0010 1101(2) × 20 =

1,0110 0011 1100 1011 0101 0110 0010 1000 0001 1110 0110 0010 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0011 1100 1011 0101 0110 0010 1000 0001 1110 0110 0010 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0011 1100 1011 0101 0110 0010 1000 0001 1110 0110 0010 1101 =

0110 0011 1100 1011 0101 0110 0010 1000 0001 1110 0110 0010 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0110 0011 1100 1011 0101 0110 0010 1000 0001 1110 0110 0010 1101


Numărul zecimal -0,000 339 311 87 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0110 0011 1100 1011 0101 0110 0010 1000 0001 1110 0110 0010 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 339 310 87 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100