-0,000 352 859 539 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 352 859 539(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 352 859 539(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 352 859 539| = 0,000 352 859 539


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 352 859 539.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 352 859 539 × 2 = 0 + 0,000 705 719 078;
  • 2) 0,000 705 719 078 × 2 = 0 + 0,001 411 438 156;
  • 3) 0,001 411 438 156 × 2 = 0 + 0,002 822 876 312;
  • 4) 0,002 822 876 312 × 2 = 0 + 0,005 645 752 624;
  • 5) 0,005 645 752 624 × 2 = 0 + 0,011 291 505 248;
  • 6) 0,011 291 505 248 × 2 = 0 + 0,022 583 010 496;
  • 7) 0,022 583 010 496 × 2 = 0 + 0,045 166 020 992;
  • 8) 0,045 166 020 992 × 2 = 0 + 0,090 332 041 984;
  • 9) 0,090 332 041 984 × 2 = 0 + 0,180 664 083 968;
  • 10) 0,180 664 083 968 × 2 = 0 + 0,361 328 167 936;
  • 11) 0,361 328 167 936 × 2 = 0 + 0,722 656 335 872;
  • 12) 0,722 656 335 872 × 2 = 1 + 0,445 312 671 744;
  • 13) 0,445 312 671 744 × 2 = 0 + 0,890 625 343 488;
  • 14) 0,890 625 343 488 × 2 = 1 + 0,781 250 686 976;
  • 15) 0,781 250 686 976 × 2 = 1 + 0,562 501 373 952;
  • 16) 0,562 501 373 952 × 2 = 1 + 0,125 002 747 904;
  • 17) 0,125 002 747 904 × 2 = 0 + 0,250 005 495 808;
  • 18) 0,250 005 495 808 × 2 = 0 + 0,500 010 991 616;
  • 19) 0,500 010 991 616 × 2 = 1 + 0,000 021 983 232;
  • 20) 0,000 021 983 232 × 2 = 0 + 0,000 043 966 464;
  • 21) 0,000 043 966 464 × 2 = 0 + 0,000 087 932 928;
  • 22) 0,000 087 932 928 × 2 = 0 + 0,000 175 865 856;
  • 23) 0,000 175 865 856 × 2 = 0 + 0,000 351 731 712;
  • 24) 0,000 351 731 712 × 2 = 0 + 0,000 703 463 424;
  • 25) 0,000 703 463 424 × 2 = 0 + 0,001 406 926 848;
  • 26) 0,001 406 926 848 × 2 = 0 + 0,002 813 853 696;
  • 27) 0,002 813 853 696 × 2 = 0 + 0,005 627 707 392;
  • 28) 0,005 627 707 392 × 2 = 0 + 0,011 255 414 784;
  • 29) 0,011 255 414 784 × 2 = 0 + 0,022 510 829 568;
  • 30) 0,022 510 829 568 × 2 = 0 + 0,045 021 659 136;
  • 31) 0,045 021 659 136 × 2 = 0 + 0,090 043 318 272;
  • 32) 0,090 043 318 272 × 2 = 0 + 0,180 086 636 544;
  • 33) 0,180 086 636 544 × 2 = 0 + 0,360 173 273 088;
  • 34) 0,360 173 273 088 × 2 = 0 + 0,720 346 546 176;
  • 35) 0,720 346 546 176 × 2 = 1 + 0,440 693 092 352;
  • 36) 0,440 693 092 352 × 2 = 0 + 0,881 386 184 704;
  • 37) 0,881 386 184 704 × 2 = 1 + 0,762 772 369 408;
  • 38) 0,762 772 369 408 × 2 = 1 + 0,525 544 738 816;
  • 39) 0,525 544 738 816 × 2 = 1 + 0,051 089 477 632;
  • 40) 0,051 089 477 632 × 2 = 0 + 0,102 178 955 264;
  • 41) 0,102 178 955 264 × 2 = 0 + 0,204 357 910 528;
  • 42) 0,204 357 910 528 × 2 = 0 + 0,408 715 821 056;
  • 43) 0,408 715 821 056 × 2 = 0 + 0,817 431 642 112;
  • 44) 0,817 431 642 112 × 2 = 1 + 0,634 863 284 224;
  • 45) 0,634 863 284 224 × 2 = 1 + 0,269 726 568 448;
  • 46) 0,269 726 568 448 × 2 = 0 + 0,539 453 136 896;
  • 47) 0,539 453 136 896 × 2 = 1 + 0,078 906 273 792;
  • 48) 0,078 906 273 792 × 2 = 0 + 0,157 812 547 584;
  • 49) 0,157 812 547 584 × 2 = 0 + 0,315 625 095 168;
  • 50) 0,315 625 095 168 × 2 = 0 + 0,631 250 190 336;
  • 51) 0,631 250 190 336 × 2 = 1 + 0,262 500 380 672;
  • 52) 0,262 500 380 672 × 2 = 0 + 0,525 000 761 344;
  • 53) 0,525 000 761 344 × 2 = 1 + 0,050 001 522 688;
  • 54) 0,050 001 522 688 × 2 = 0 + 0,100 003 045 376;
  • 55) 0,100 003 045 376 × 2 = 0 + 0,200 006 090 752;
  • 56) 0,200 006 090 752 × 2 = 0 + 0,400 012 181 504;
  • 57) 0,400 012 181 504 × 2 = 0 + 0,800 024 363 008;
  • 58) 0,800 024 363 008 × 2 = 1 + 0,600 048 726 016;
  • 59) 0,600 048 726 016 × 2 = 1 + 0,200 097 452 032;
  • 60) 0,200 097 452 032 × 2 = 0 + 0,400 194 904 064;
  • 61) 0,400 194 904 064 × 2 = 0 + 0,800 389 808 128;
  • 62) 0,800 389 808 128 × 2 = 1 + 0,600 779 616 256;
  • 63) 0,600 779 616 256 × 2 = 1 + 0,201 559 232 512;
  • 64) 0,201 559 232 512 × 2 = 0 + 0,403 118 465 024;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 352 859 539(10) =

0,0000 0000 0001 0111 0010 0000 0000 0000 0010 1110 0001 1010 0010 1000 0110 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 352 859 539(10) =

0,0000 0000 0001 0111 0010 0000 0000 0000 0010 1110 0001 1010 0010 1000 0110 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 352 859 539(10) =

0,0000 0000 0001 0111 0010 0000 0000 0000 0010 1110 0001 1010 0010 1000 0110 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0111 0010 0000 0000 0000 0010 1110 0001 1010 0010 1000 0110 0110(2) × 20 =

1,0111 0010 0000 0000 0000 0010 1110 0001 1010 0010 1000 0110 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0010 0000 0000 0000 0010 1110 0001 1010 0010 1000 0110 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0010 0000 0000 0000 0010 1110 0001 1010 0010 1000 0110 0110 =

0111 0010 0000 0000 0000 0010 1110 0001 1010 0010 1000 0110 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0111 0010 0000 0000 0000 0010 1110 0001 1010 0010 1000 0110 0110


Numărul zecimal -0,000 352 859 539 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0111 0010 0000 0000 0000 0010 1110 0001 1010 0010 1000 0110 0110

» Scriere -0,000 352 859 635 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100