-0,000 375 658 488 48 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 375 658 488 48(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 375 658 488 48(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 375 658 488 48| = 0,000 375 658 488 48


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 375 658 488 48.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 375 658 488 48 × 2 = 0 + 0,000 751 316 976 96;
  • 2) 0,000 751 316 976 96 × 2 = 0 + 0,001 502 633 953 92;
  • 3) 0,001 502 633 953 92 × 2 = 0 + 0,003 005 267 907 84;
  • 4) 0,003 005 267 907 84 × 2 = 0 + 0,006 010 535 815 68;
  • 5) 0,006 010 535 815 68 × 2 = 0 + 0,012 021 071 631 36;
  • 6) 0,012 021 071 631 36 × 2 = 0 + 0,024 042 143 262 72;
  • 7) 0,024 042 143 262 72 × 2 = 0 + 0,048 084 286 525 44;
  • 8) 0,048 084 286 525 44 × 2 = 0 + 0,096 168 573 050 88;
  • 9) 0,096 168 573 050 88 × 2 = 0 + 0,192 337 146 101 76;
  • 10) 0,192 337 146 101 76 × 2 = 0 + 0,384 674 292 203 52;
  • 11) 0,384 674 292 203 52 × 2 = 0 + 0,769 348 584 407 04;
  • 12) 0,769 348 584 407 04 × 2 = 1 + 0,538 697 168 814 08;
  • 13) 0,538 697 168 814 08 × 2 = 1 + 0,077 394 337 628 16;
  • 14) 0,077 394 337 628 16 × 2 = 0 + 0,154 788 675 256 32;
  • 15) 0,154 788 675 256 32 × 2 = 0 + 0,309 577 350 512 64;
  • 16) 0,309 577 350 512 64 × 2 = 0 + 0,619 154 701 025 28;
  • 17) 0,619 154 701 025 28 × 2 = 1 + 0,238 309 402 050 56;
  • 18) 0,238 309 402 050 56 × 2 = 0 + 0,476 618 804 101 12;
  • 19) 0,476 618 804 101 12 × 2 = 0 + 0,953 237 608 202 24;
  • 20) 0,953 237 608 202 24 × 2 = 1 + 0,906 475 216 404 48;
  • 21) 0,906 475 216 404 48 × 2 = 1 + 0,812 950 432 808 96;
  • 22) 0,812 950 432 808 96 × 2 = 1 + 0,625 900 865 617 92;
  • 23) 0,625 900 865 617 92 × 2 = 1 + 0,251 801 731 235 84;
  • 24) 0,251 801 731 235 84 × 2 = 0 + 0,503 603 462 471 68;
  • 25) 0,503 603 462 471 68 × 2 = 1 + 0,007 206 924 943 36;
  • 26) 0,007 206 924 943 36 × 2 = 0 + 0,014 413 849 886 72;
  • 27) 0,014 413 849 886 72 × 2 = 0 + 0,028 827 699 773 44;
  • 28) 0,028 827 699 773 44 × 2 = 0 + 0,057 655 399 546 88;
  • 29) 0,057 655 399 546 88 × 2 = 0 + 0,115 310 799 093 76;
  • 30) 0,115 310 799 093 76 × 2 = 0 + 0,230 621 598 187 52;
  • 31) 0,230 621 598 187 52 × 2 = 0 + 0,461 243 196 375 04;
  • 32) 0,461 243 196 375 04 × 2 = 0 + 0,922 486 392 750 08;
  • 33) 0,922 486 392 750 08 × 2 = 1 + 0,844 972 785 500 16;
  • 34) 0,844 972 785 500 16 × 2 = 1 + 0,689 945 571 000 32;
  • 35) 0,689 945 571 000 32 × 2 = 1 + 0,379 891 142 000 64;
  • 36) 0,379 891 142 000 64 × 2 = 0 + 0,759 782 284 001 28;
  • 37) 0,759 782 284 001 28 × 2 = 1 + 0,519 564 568 002 56;
  • 38) 0,519 564 568 002 56 × 2 = 1 + 0,039 129 136 005 12;
  • 39) 0,039 129 136 005 12 × 2 = 0 + 0,078 258 272 010 24;
  • 40) 0,078 258 272 010 24 × 2 = 0 + 0,156 516 544 020 48;
  • 41) 0,156 516 544 020 48 × 2 = 0 + 0,313 033 088 040 96;
  • 42) 0,313 033 088 040 96 × 2 = 0 + 0,626 066 176 081 92;
  • 43) 0,626 066 176 081 92 × 2 = 1 + 0,252 132 352 163 84;
  • 44) 0,252 132 352 163 84 × 2 = 0 + 0,504 264 704 327 68;
  • 45) 0,504 264 704 327 68 × 2 = 1 + 0,008 529 408 655 36;
  • 46) 0,008 529 408 655 36 × 2 = 0 + 0,017 058 817 310 72;
  • 47) 0,017 058 817 310 72 × 2 = 0 + 0,034 117 634 621 44;
  • 48) 0,034 117 634 621 44 × 2 = 0 + 0,068 235 269 242 88;
  • 49) 0,068 235 269 242 88 × 2 = 0 + 0,136 470 538 485 76;
  • 50) 0,136 470 538 485 76 × 2 = 0 + 0,272 941 076 971 52;
  • 51) 0,272 941 076 971 52 × 2 = 0 + 0,545 882 153 943 04;
  • 52) 0,545 882 153 943 04 × 2 = 1 + 0,091 764 307 886 08;
  • 53) 0,091 764 307 886 08 × 2 = 0 + 0,183 528 615 772 16;
  • 54) 0,183 528 615 772 16 × 2 = 0 + 0,367 057 231 544 32;
  • 55) 0,367 057 231 544 32 × 2 = 0 + 0,734 114 463 088 64;
  • 56) 0,734 114 463 088 64 × 2 = 1 + 0,468 228 926 177 28;
  • 57) 0,468 228 926 177 28 × 2 = 0 + 0,936 457 852 354 56;
  • 58) 0,936 457 852 354 56 × 2 = 1 + 0,872 915 704 709 12;
  • 59) 0,872 915 704 709 12 × 2 = 1 + 0,745 831 409 418 24;
  • 60) 0,745 831 409 418 24 × 2 = 1 + 0,491 662 818 836 48;
  • 61) 0,491 662 818 836 48 × 2 = 0 + 0,983 325 637 672 96;
  • 62) 0,983 325 637 672 96 × 2 = 1 + 0,966 651 275 345 92;
  • 63) 0,966 651 275 345 92 × 2 = 1 + 0,933 302 550 691 84;
  • 64) 0,933 302 550 691 84 × 2 = 1 + 0,866 605 101 383 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 375 658 488 48(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0010 1000 0001 0001 0111 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 375 658 488 48(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0010 1000 0001 0001 0111 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 375 658 488 48(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0010 1000 0001 0001 0111 0111(2) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0010 1000 0001 0001 0111 0111(2) × 20 =

1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0010 1000 0001 0001 0111 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0010 1000 0001 0001 0111 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0010 1000 0001 0001 0111 0111 =

1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0010 1000 0001 0001 0111 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0010 1000 0001 0001 0111 0111


Numărul zecimal -0,000 375 658 488 48 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0010 1000 0001 0001 0111 0111

» Scriere -0,000 375 658 488 23 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100