-0,000 375 658 488 61 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 375 658 488 61(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 375 658 488 61(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 375 658 488 61| = 0,000 375 658 488 61


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 375 658 488 61.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 375 658 488 61 × 2 = 0 + 0,000 751 316 977 22;
  • 2) 0,000 751 316 977 22 × 2 = 0 + 0,001 502 633 954 44;
  • 3) 0,001 502 633 954 44 × 2 = 0 + 0,003 005 267 908 88;
  • 4) 0,003 005 267 908 88 × 2 = 0 + 0,006 010 535 817 76;
  • 5) 0,006 010 535 817 76 × 2 = 0 + 0,012 021 071 635 52;
  • 6) 0,012 021 071 635 52 × 2 = 0 + 0,024 042 143 271 04;
  • 7) 0,024 042 143 271 04 × 2 = 0 + 0,048 084 286 542 08;
  • 8) 0,048 084 286 542 08 × 2 = 0 + 0,096 168 573 084 16;
  • 9) 0,096 168 573 084 16 × 2 = 0 + 0,192 337 146 168 32;
  • 10) 0,192 337 146 168 32 × 2 = 0 + 0,384 674 292 336 64;
  • 11) 0,384 674 292 336 64 × 2 = 0 + 0,769 348 584 673 28;
  • 12) 0,769 348 584 673 28 × 2 = 1 + 0,538 697 169 346 56;
  • 13) 0,538 697 169 346 56 × 2 = 1 + 0,077 394 338 693 12;
  • 14) 0,077 394 338 693 12 × 2 = 0 + 0,154 788 677 386 24;
  • 15) 0,154 788 677 386 24 × 2 = 0 + 0,309 577 354 772 48;
  • 16) 0,309 577 354 772 48 × 2 = 0 + 0,619 154 709 544 96;
  • 17) 0,619 154 709 544 96 × 2 = 1 + 0,238 309 419 089 92;
  • 18) 0,238 309 419 089 92 × 2 = 0 + 0,476 618 838 179 84;
  • 19) 0,476 618 838 179 84 × 2 = 0 + 0,953 237 676 359 68;
  • 20) 0,953 237 676 359 68 × 2 = 1 + 0,906 475 352 719 36;
  • 21) 0,906 475 352 719 36 × 2 = 1 + 0,812 950 705 438 72;
  • 22) 0,812 950 705 438 72 × 2 = 1 + 0,625 901 410 877 44;
  • 23) 0,625 901 410 877 44 × 2 = 1 + 0,251 802 821 754 88;
  • 24) 0,251 802 821 754 88 × 2 = 0 + 0,503 605 643 509 76;
  • 25) 0,503 605 643 509 76 × 2 = 1 + 0,007 211 287 019 52;
  • 26) 0,007 211 287 019 52 × 2 = 0 + 0,014 422 574 039 04;
  • 27) 0,014 422 574 039 04 × 2 = 0 + 0,028 845 148 078 08;
  • 28) 0,028 845 148 078 08 × 2 = 0 + 0,057 690 296 156 16;
  • 29) 0,057 690 296 156 16 × 2 = 0 + 0,115 380 592 312 32;
  • 30) 0,115 380 592 312 32 × 2 = 0 + 0,230 761 184 624 64;
  • 31) 0,230 761 184 624 64 × 2 = 0 + 0,461 522 369 249 28;
  • 32) 0,461 522 369 249 28 × 2 = 0 + 0,923 044 738 498 56;
  • 33) 0,923 044 738 498 56 × 2 = 1 + 0,846 089 476 997 12;
  • 34) 0,846 089 476 997 12 × 2 = 1 + 0,692 178 953 994 24;
  • 35) 0,692 178 953 994 24 × 2 = 1 + 0,384 357 907 988 48;
  • 36) 0,384 357 907 988 48 × 2 = 0 + 0,768 715 815 976 96;
  • 37) 0,768 715 815 976 96 × 2 = 1 + 0,537 431 631 953 92;
  • 38) 0,537 431 631 953 92 × 2 = 1 + 0,074 863 263 907 84;
  • 39) 0,074 863 263 907 84 × 2 = 0 + 0,149 726 527 815 68;
  • 40) 0,149 726 527 815 68 × 2 = 0 + 0,299 453 055 631 36;
  • 41) 0,299 453 055 631 36 × 2 = 0 + 0,598 906 111 262 72;
  • 42) 0,598 906 111 262 72 × 2 = 1 + 0,197 812 222 525 44;
  • 43) 0,197 812 222 525 44 × 2 = 0 + 0,395 624 445 050 88;
  • 44) 0,395 624 445 050 88 × 2 = 0 + 0,791 248 890 101 76;
  • 45) 0,791 248 890 101 76 × 2 = 1 + 0,582 497 780 203 52;
  • 46) 0,582 497 780 203 52 × 2 = 1 + 0,164 995 560 407 04;
  • 47) 0,164 995 560 407 04 × 2 = 0 + 0,329 991 120 814 08;
  • 48) 0,329 991 120 814 08 × 2 = 0 + 0,659 982 241 628 16;
  • 49) 0,659 982 241 628 16 × 2 = 1 + 0,319 964 483 256 32;
  • 50) 0,319 964 483 256 32 × 2 = 0 + 0,639 928 966 512 64;
  • 51) 0,639 928 966 512 64 × 2 = 1 + 0,279 857 933 025 28;
  • 52) 0,279 857 933 025 28 × 2 = 0 + 0,559 715 866 050 56;
  • 53) 0,559 715 866 050 56 × 2 = 1 + 0,119 431 732 101 12;
  • 54) 0,119 431 732 101 12 × 2 = 0 + 0,238 863 464 202 24;
  • 55) 0,238 863 464 202 24 × 2 = 0 + 0,477 726 928 404 48;
  • 56) 0,477 726 928 404 48 × 2 = 0 + 0,955 453 856 808 96;
  • 57) 0,955 453 856 808 96 × 2 = 1 + 0,910 907 713 617 92;
  • 58) 0,910 907 713 617 92 × 2 = 1 + 0,821 815 427 235 84;
  • 59) 0,821 815 427 235 84 × 2 = 1 + 0,643 630 854 471 68;
  • 60) 0,643 630 854 471 68 × 2 = 1 + 0,287 261 708 943 36;
  • 61) 0,287 261 708 943 36 × 2 = 0 + 0,574 523 417 886 72;
  • 62) 0,574 523 417 886 72 × 2 = 1 + 0,149 046 835 773 44;
  • 63) 0,149 046 835 773 44 × 2 = 0 + 0,298 093 671 546 88;
  • 64) 0,298 093 671 546 88 × 2 = 0 + 0,596 187 343 093 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 375 658 488 61(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0100 1100 1010 1000 1111 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 375 658 488 61(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0100 1100 1010 1000 1111 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 375 658 488 61(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0100 1100 1010 1000 1111 0100(2) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0100 1100 1010 1000 1111 0100(2) × 20 =

1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0100 1100 1010 1000 1111 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0100 1100 1010 1000 1111 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0100 1100 1010 1000 1111 0100 =

1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0100 1100 1010 1000 1111 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0100 1100 1010 1000 1111 0100


Numărul zecimal -0,000 375 658 488 61 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 0100 1100 1010 1000 1111 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 375 658 488 54 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100