-0,000 375 658 489 32 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 375 658 489 32(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 375 658 489 32(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 375 658 489 32| = 0,000 375 658 489 32


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 375 658 489 32.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 375 658 489 32 × 2 = 0 + 0,000 751 316 978 64;
  • 2) 0,000 751 316 978 64 × 2 = 0 + 0,001 502 633 957 28;
  • 3) 0,001 502 633 957 28 × 2 = 0 + 0,003 005 267 914 56;
  • 4) 0,003 005 267 914 56 × 2 = 0 + 0,006 010 535 829 12;
  • 5) 0,006 010 535 829 12 × 2 = 0 + 0,012 021 071 658 24;
  • 6) 0,012 021 071 658 24 × 2 = 0 + 0,024 042 143 316 48;
  • 7) 0,024 042 143 316 48 × 2 = 0 + 0,048 084 286 632 96;
  • 8) 0,048 084 286 632 96 × 2 = 0 + 0,096 168 573 265 92;
  • 9) 0,096 168 573 265 92 × 2 = 0 + 0,192 337 146 531 84;
  • 10) 0,192 337 146 531 84 × 2 = 0 + 0,384 674 293 063 68;
  • 11) 0,384 674 293 063 68 × 2 = 0 + 0,769 348 586 127 36;
  • 12) 0,769 348 586 127 36 × 2 = 1 + 0,538 697 172 254 72;
  • 13) 0,538 697 172 254 72 × 2 = 1 + 0,077 394 344 509 44;
  • 14) 0,077 394 344 509 44 × 2 = 0 + 0,154 788 689 018 88;
  • 15) 0,154 788 689 018 88 × 2 = 0 + 0,309 577 378 037 76;
  • 16) 0,309 577 378 037 76 × 2 = 0 + 0,619 154 756 075 52;
  • 17) 0,619 154 756 075 52 × 2 = 1 + 0,238 309 512 151 04;
  • 18) 0,238 309 512 151 04 × 2 = 0 + 0,476 619 024 302 08;
  • 19) 0,476 619 024 302 08 × 2 = 0 + 0,953 238 048 604 16;
  • 20) 0,953 238 048 604 16 × 2 = 1 + 0,906 476 097 208 32;
  • 21) 0,906 476 097 208 32 × 2 = 1 + 0,812 952 194 416 64;
  • 22) 0,812 952 194 416 64 × 2 = 1 + 0,625 904 388 833 28;
  • 23) 0,625 904 388 833 28 × 2 = 1 + 0,251 808 777 666 56;
  • 24) 0,251 808 777 666 56 × 2 = 0 + 0,503 617 555 333 12;
  • 25) 0,503 617 555 333 12 × 2 = 1 + 0,007 235 110 666 24;
  • 26) 0,007 235 110 666 24 × 2 = 0 + 0,014 470 221 332 48;
  • 27) 0,014 470 221 332 48 × 2 = 0 + 0,028 940 442 664 96;
  • 28) 0,028 940 442 664 96 × 2 = 0 + 0,057 880 885 329 92;
  • 29) 0,057 880 885 329 92 × 2 = 0 + 0,115 761 770 659 84;
  • 30) 0,115 761 770 659 84 × 2 = 0 + 0,231 523 541 319 68;
  • 31) 0,231 523 541 319 68 × 2 = 0 + 0,463 047 082 639 36;
  • 32) 0,463 047 082 639 36 × 2 = 0 + 0,926 094 165 278 72;
  • 33) 0,926 094 165 278 72 × 2 = 1 + 0,852 188 330 557 44;
  • 34) 0,852 188 330 557 44 × 2 = 1 + 0,704 376 661 114 88;
  • 35) 0,704 376 661 114 88 × 2 = 1 + 0,408 753 322 229 76;
  • 36) 0,408 753 322 229 76 × 2 = 0 + 0,817 506 644 459 52;
  • 37) 0,817 506 644 459 52 × 2 = 1 + 0,635 013 288 919 04;
  • 38) 0,635 013 288 919 04 × 2 = 1 + 0,270 026 577 838 08;
  • 39) 0,270 026 577 838 08 × 2 = 0 + 0,540 053 155 676 16;
  • 40) 0,540 053 155 676 16 × 2 = 1 + 0,080 106 311 352 32;
  • 41) 0,080 106 311 352 32 × 2 = 0 + 0,160 212 622 704 64;
  • 42) 0,160 212 622 704 64 × 2 = 0 + 0,320 425 245 409 28;
  • 43) 0,320 425 245 409 28 × 2 = 0 + 0,640 850 490 818 56;
  • 44) 0,640 850 490 818 56 × 2 = 1 + 0,281 700 981 637 12;
  • 45) 0,281 700 981 637 12 × 2 = 0 + 0,563 401 963 274 24;
  • 46) 0,563 401 963 274 24 × 2 = 1 + 0,126 803 926 548 48;
  • 47) 0,126 803 926 548 48 × 2 = 0 + 0,253 607 853 096 96;
  • 48) 0,253 607 853 096 96 × 2 = 0 + 0,507 215 706 193 92;
  • 49) 0,507 215 706 193 92 × 2 = 1 + 0,014 431 412 387 84;
  • 50) 0,014 431 412 387 84 × 2 = 0 + 0,028 862 824 775 68;
  • 51) 0,028 862 824 775 68 × 2 = 0 + 0,057 725 649 551 36;
  • 52) 0,057 725 649 551 36 × 2 = 0 + 0,115 451 299 102 72;
  • 53) 0,115 451 299 102 72 × 2 = 0 + 0,230 902 598 205 44;
  • 54) 0,230 902 598 205 44 × 2 = 0 + 0,461 805 196 410 88;
  • 55) 0,461 805 196 410 88 × 2 = 0 + 0,923 610 392 821 76;
  • 56) 0,923 610 392 821 76 × 2 = 1 + 0,847 220 785 643 52;
  • 57) 0,847 220 785 643 52 × 2 = 1 + 0,694 441 571 287 04;
  • 58) 0,694 441 571 287 04 × 2 = 1 + 0,388 883 142 574 08;
  • 59) 0,388 883 142 574 08 × 2 = 0 + 0,777 766 285 148 16;
  • 60) 0,777 766 285 148 16 × 2 = 1 + 0,555 532 570 296 32;
  • 61) 0,555 532 570 296 32 × 2 = 1 + 0,111 065 140 592 64;
  • 62) 0,111 065 140 592 64 × 2 = 0 + 0,222 130 281 185 28;
  • 63) 0,222 130 281 185 28 × 2 = 0 + 0,444 260 562 370 56;
  • 64) 0,444 260 562 370 56 × 2 = 0 + 0,888 521 124 741 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 375 658 489 32(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0001 0100 1000 0001 1101 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 375 658 489 32(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0001 0100 1000 0001 1101 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 375 658 489 32(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0001 0100 1000 0001 1101 1000(2) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0001 0100 1000 0001 1101 1000(2) × 20 =

1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0001 0100 1000 0001 1101 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0001 0100 1000 0001 1101 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0001 0100 1000 0001 1101 1000 =

1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0001 0100 1000 0001 1101 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0001 0100 1000 0001 1101 1000


Numărul zecimal -0,000 375 658 489 32 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0001 0100 1000 0001 1101 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 375 658 490 27 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100