-0,000 375 658 489 61 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 375 658 489 61(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 375 658 489 61(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 375 658 489 61| = 0,000 375 658 489 61


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 375 658 489 61.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 375 658 489 61 × 2 = 0 + 0,000 751 316 979 22;
  • 2) 0,000 751 316 979 22 × 2 = 0 + 0,001 502 633 958 44;
  • 3) 0,001 502 633 958 44 × 2 = 0 + 0,003 005 267 916 88;
  • 4) 0,003 005 267 916 88 × 2 = 0 + 0,006 010 535 833 76;
  • 5) 0,006 010 535 833 76 × 2 = 0 + 0,012 021 071 667 52;
  • 6) 0,012 021 071 667 52 × 2 = 0 + 0,024 042 143 335 04;
  • 7) 0,024 042 143 335 04 × 2 = 0 + 0,048 084 286 670 08;
  • 8) 0,048 084 286 670 08 × 2 = 0 + 0,096 168 573 340 16;
  • 9) 0,096 168 573 340 16 × 2 = 0 + 0,192 337 146 680 32;
  • 10) 0,192 337 146 680 32 × 2 = 0 + 0,384 674 293 360 64;
  • 11) 0,384 674 293 360 64 × 2 = 0 + 0,769 348 586 721 28;
  • 12) 0,769 348 586 721 28 × 2 = 1 + 0,538 697 173 442 56;
  • 13) 0,538 697 173 442 56 × 2 = 1 + 0,077 394 346 885 12;
  • 14) 0,077 394 346 885 12 × 2 = 0 + 0,154 788 693 770 24;
  • 15) 0,154 788 693 770 24 × 2 = 0 + 0,309 577 387 540 48;
  • 16) 0,309 577 387 540 48 × 2 = 0 + 0,619 154 775 080 96;
  • 17) 0,619 154 775 080 96 × 2 = 1 + 0,238 309 550 161 92;
  • 18) 0,238 309 550 161 92 × 2 = 0 + 0,476 619 100 323 84;
  • 19) 0,476 619 100 323 84 × 2 = 0 + 0,953 238 200 647 68;
  • 20) 0,953 238 200 647 68 × 2 = 1 + 0,906 476 401 295 36;
  • 21) 0,906 476 401 295 36 × 2 = 1 + 0,812 952 802 590 72;
  • 22) 0,812 952 802 590 72 × 2 = 1 + 0,625 905 605 181 44;
  • 23) 0,625 905 605 181 44 × 2 = 1 + 0,251 811 210 362 88;
  • 24) 0,251 811 210 362 88 × 2 = 0 + 0,503 622 420 725 76;
  • 25) 0,503 622 420 725 76 × 2 = 1 + 0,007 244 841 451 52;
  • 26) 0,007 244 841 451 52 × 2 = 0 + 0,014 489 682 903 04;
  • 27) 0,014 489 682 903 04 × 2 = 0 + 0,028 979 365 806 08;
  • 28) 0,028 979 365 806 08 × 2 = 0 + 0,057 958 731 612 16;
  • 29) 0,057 958 731 612 16 × 2 = 0 + 0,115 917 463 224 32;
  • 30) 0,115 917 463 224 32 × 2 = 0 + 0,231 834 926 448 64;
  • 31) 0,231 834 926 448 64 × 2 = 0 + 0,463 669 852 897 28;
  • 32) 0,463 669 852 897 28 × 2 = 0 + 0,927 339 705 794 56;
  • 33) 0,927 339 705 794 56 × 2 = 1 + 0,854 679 411 589 12;
  • 34) 0,854 679 411 589 12 × 2 = 1 + 0,709 358 823 178 24;
  • 35) 0,709 358 823 178 24 × 2 = 1 + 0,418 717 646 356 48;
  • 36) 0,418 717 646 356 48 × 2 = 0 + 0,837 435 292 712 96;
  • 37) 0,837 435 292 712 96 × 2 = 1 + 0,674 870 585 425 92;
  • 38) 0,674 870 585 425 92 × 2 = 1 + 0,349 741 170 851 84;
  • 39) 0,349 741 170 851 84 × 2 = 0 + 0,699 482 341 703 68;
  • 40) 0,699 482 341 703 68 × 2 = 1 + 0,398 964 683 407 36;
  • 41) 0,398 964 683 407 36 × 2 = 0 + 0,797 929 366 814 72;
  • 42) 0,797 929 366 814 72 × 2 = 1 + 0,595 858 733 629 44;
  • 43) 0,595 858 733 629 44 × 2 = 1 + 0,191 717 467 258 88;
  • 44) 0,191 717 467 258 88 × 2 = 0 + 0,383 434 934 517 76;
  • 45) 0,383 434 934 517 76 × 2 = 0 + 0,766 869 869 035 52;
  • 46) 0,766 869 869 035 52 × 2 = 1 + 0,533 739 738 071 04;
  • 47) 0,533 739 738 071 04 × 2 = 1 + 0,067 479 476 142 08;
  • 48) 0,067 479 476 142 08 × 2 = 0 + 0,134 958 952 284 16;
  • 49) 0,134 958 952 284 16 × 2 = 0 + 0,269 917 904 568 32;
  • 50) 0,269 917 904 568 32 × 2 = 0 + 0,539 835 809 136 64;
  • 51) 0,539 835 809 136 64 × 2 = 1 + 0,079 671 618 273 28;
  • 52) 0,079 671 618 273 28 × 2 = 0 + 0,159 343 236 546 56;
  • 53) 0,159 343 236 546 56 × 2 = 0 + 0,318 686 473 093 12;
  • 54) 0,318 686 473 093 12 × 2 = 0 + 0,637 372 946 186 24;
  • 55) 0,637 372 946 186 24 × 2 = 1 + 0,274 745 892 372 48;
  • 56) 0,274 745 892 372 48 × 2 = 0 + 0,549 491 784 744 96;
  • 57) 0,549 491 784 744 96 × 2 = 1 + 0,098 983 569 489 92;
  • 58) 0,098 983 569 489 92 × 2 = 0 + 0,197 967 138 979 84;
  • 59) 0,197 967 138 979 84 × 2 = 0 + 0,395 934 277 959 68;
  • 60) 0,395 934 277 959 68 × 2 = 0 + 0,791 868 555 919 36;
  • 61) 0,791 868 555 919 36 × 2 = 1 + 0,583 737 111 838 72;
  • 62) 0,583 737 111 838 72 × 2 = 1 + 0,167 474 223 677 44;
  • 63) 0,167 474 223 677 44 × 2 = 0 + 0,334 948 447 354 88;
  • 64) 0,334 948 447 354 88 × 2 = 0 + 0,669 896 894 709 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 375 658 489 61(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0110 0110 0010 0010 1000 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 375 658 489 61(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0110 0110 0010 0010 1000 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 375 658 489 61(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0110 0110 0010 0010 1000 1100(2) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0110 0110 0010 0010 1000 1100(2) × 20 =

1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0110 0110 0010 0010 1000 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0110 0110 0010 0010 1000 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0110 0110 0010 0010 1000 1100 =

1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0110 0110 0010 0010 1000 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0110 0110 0010 0010 1000 1100


Numărul zecimal -0,000 375 658 489 61 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0110 0110 0010 0010 1000 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 375 658 490 56 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100