-0,000 796 971 202 339 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 796 971 202 339(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 796 971 202 339(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 796 971 202 339| = 0,000 796 971 202 339


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 796 971 202 339.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 796 971 202 339 × 2 = 0 + 0,001 593 942 404 678;
  • 2) 0,001 593 942 404 678 × 2 = 0 + 0,003 187 884 809 356;
  • 3) 0,003 187 884 809 356 × 2 = 0 + 0,006 375 769 618 712;
  • 4) 0,006 375 769 618 712 × 2 = 0 + 0,012 751 539 237 424;
  • 5) 0,012 751 539 237 424 × 2 = 0 + 0,025 503 078 474 848;
  • 6) 0,025 503 078 474 848 × 2 = 0 + 0,051 006 156 949 696;
  • 7) 0,051 006 156 949 696 × 2 = 0 + 0,102 012 313 899 392;
  • 8) 0,102 012 313 899 392 × 2 = 0 + 0,204 024 627 798 784;
  • 9) 0,204 024 627 798 784 × 2 = 0 + 0,408 049 255 597 568;
  • 10) 0,408 049 255 597 568 × 2 = 0 + 0,816 098 511 195 136;
  • 11) 0,816 098 511 195 136 × 2 = 1 + 0,632 197 022 390 272;
  • 12) 0,632 197 022 390 272 × 2 = 1 + 0,264 394 044 780 544;
  • 13) 0,264 394 044 780 544 × 2 = 0 + 0,528 788 089 561 088;
  • 14) 0,528 788 089 561 088 × 2 = 1 + 0,057 576 179 122 176;
  • 15) 0,057 576 179 122 176 × 2 = 0 + 0,115 152 358 244 352;
  • 16) 0,115 152 358 244 352 × 2 = 0 + 0,230 304 716 488 704;
  • 17) 0,230 304 716 488 704 × 2 = 0 + 0,460 609 432 977 408;
  • 18) 0,460 609 432 977 408 × 2 = 0 + 0,921 218 865 954 816;
  • 19) 0,921 218 865 954 816 × 2 = 1 + 0,842 437 731 909 632;
  • 20) 0,842 437 731 909 632 × 2 = 1 + 0,684 875 463 819 264;
  • 21) 0,684 875 463 819 264 × 2 = 1 + 0,369 750 927 638 528;
  • 22) 0,369 750 927 638 528 × 2 = 0 + 0,739 501 855 277 056;
  • 23) 0,739 501 855 277 056 × 2 = 1 + 0,479 003 710 554 112;
  • 24) 0,479 003 710 554 112 × 2 = 0 + 0,958 007 421 108 224;
  • 25) 0,958 007 421 108 224 × 2 = 1 + 0,916 014 842 216 448;
  • 26) 0,916 014 842 216 448 × 2 = 1 + 0,832 029 684 432 896;
  • 27) 0,832 029 684 432 896 × 2 = 1 + 0,664 059 368 865 792;
  • 28) 0,664 059 368 865 792 × 2 = 1 + 0,328 118 737 731 584;
  • 29) 0,328 118 737 731 584 × 2 = 0 + 0,656 237 475 463 168;
  • 30) 0,656 237 475 463 168 × 2 = 1 + 0,312 474 950 926 336;
  • 31) 0,312 474 950 926 336 × 2 = 0 + 0,624 949 901 852 672;
  • 32) 0,624 949 901 852 672 × 2 = 1 + 0,249 899 803 705 344;
  • 33) 0,249 899 803 705 344 × 2 = 0 + 0,499 799 607 410 688;
  • 34) 0,499 799 607 410 688 × 2 = 0 + 0,999 599 214 821 376;
  • 35) 0,999 599 214 821 376 × 2 = 1 + 0,999 198 429 642 752;
  • 36) 0,999 198 429 642 752 × 2 = 1 + 0,998 396 859 285 504;
  • 37) 0,998 396 859 285 504 × 2 = 1 + 0,996 793 718 571 008;
  • 38) 0,996 793 718 571 008 × 2 = 1 + 0,993 587 437 142 016;
  • 39) 0,993 587 437 142 016 × 2 = 1 + 0,987 174 874 284 032;
  • 40) 0,987 174 874 284 032 × 2 = 1 + 0,974 349 748 568 064;
  • 41) 0,974 349 748 568 064 × 2 = 1 + 0,948 699 497 136 128;
  • 42) 0,948 699 497 136 128 × 2 = 1 + 0,897 398 994 272 256;
  • 43) 0,897 398 994 272 256 × 2 = 1 + 0,794 797 988 544 512;
  • 44) 0,794 797 988 544 512 × 2 = 1 + 0,589 595 977 089 024;
  • 45) 0,589 595 977 089 024 × 2 = 1 + 0,179 191 954 178 048;
  • 46) 0,179 191 954 178 048 × 2 = 0 + 0,358 383 908 356 096;
  • 47) 0,358 383 908 356 096 × 2 = 0 + 0,716 767 816 712 192;
  • 48) 0,716 767 816 712 192 × 2 = 1 + 0,433 535 633 424 384;
  • 49) 0,433 535 633 424 384 × 2 = 0 + 0,867 071 266 848 768;
  • 50) 0,867 071 266 848 768 × 2 = 1 + 0,734 142 533 697 536;
  • 51) 0,734 142 533 697 536 × 2 = 1 + 0,468 285 067 395 072;
  • 52) 0,468 285 067 395 072 × 2 = 0 + 0,936 570 134 790 144;
  • 53) 0,936 570 134 790 144 × 2 = 1 + 0,873 140 269 580 288;
  • 54) 0,873 140 269 580 288 × 2 = 1 + 0,746 280 539 160 576;
  • 55) 0,746 280 539 160 576 × 2 = 1 + 0,492 561 078 321 152;
  • 56) 0,492 561 078 321 152 × 2 = 0 + 0,985 122 156 642 304;
  • 57) 0,985 122 156 642 304 × 2 = 1 + 0,970 244 313 284 608;
  • 58) 0,970 244 313 284 608 × 2 = 1 + 0,940 488 626 569 216;
  • 59) 0,940 488 626 569 216 × 2 = 1 + 0,880 977 253 138 432;
  • 60) 0,880 977 253 138 432 × 2 = 1 + 0,761 954 506 276 864;
  • 61) 0,761 954 506 276 864 × 2 = 1 + 0,523 909 012 553 728;
  • 62) 0,523 909 012 553 728 × 2 = 1 + 0,047 818 025 107 456;
  • 63) 0,047 818 025 107 456 × 2 = 0 + 0,095 636 050 214 912;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 796 971 202 339(10) =

0,0000 0000 0011 0100 0011 1010 1111 0101 0011 1111 1111 1001 0110 1110 1111 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 796 971 202 339(10) =

0,0000 0000 0011 0100 0011 1010 1111 0101 0011 1111 1111 1001 0110 1110 1111 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 796 971 202 339(10) =

0,0000 0000 0011 0100 0011 1010 1111 0101 0011 1111 1111 1001 0110 1110 1111 110(2) =

0,0000 0000 0011 0100 0011 1010 1111 0101 0011 1111 1111 1001 0110 1110 1111 110(2) × 20 =

1,1010 0001 1101 0111 1010 1001 1111 1111 1100 1011 0111 0111 1110(2) × 2-11


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -11

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 0001 1101 0111 1010 1001 1111 1111 1100 1011 0111 0111 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-11 + 2(11-1) - 1 =

(-11 + 1 023)(10) =

1 012(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 012 : 2 = 506 + 0;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1012(10) =

011 1111 0100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 0001 1101 0111 1010 1001 1111 1111 1100 1011 0111 0111 1110 =

1010 0001 1101 0111 1010 1001 1111 1111 1100 1011 0111 0111 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0100

Mantisă (52 biți) =
1010 0001 1101 0111 1010 1001 1111 1111 1100 1011 0111 0111 1110


Numărul zecimal -0,000 796 971 202 339 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0100 - 1010 0001 1101 0111 1010 1001 1111 1111 1100 1011 0111 0111 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 796 971 202 354 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100