-0,001 139 111 08 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,001 139 111 08(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,001 139 111 08(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,001 139 111 08| = 0,001 139 111 08


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,001 139 111 08.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,001 139 111 08 × 2 = 0 + 0,002 278 222 16;
  • 2) 0,002 278 222 16 × 2 = 0 + 0,004 556 444 32;
  • 3) 0,004 556 444 32 × 2 = 0 + 0,009 112 888 64;
  • 4) 0,009 112 888 64 × 2 = 0 + 0,018 225 777 28;
  • 5) 0,018 225 777 28 × 2 = 0 + 0,036 451 554 56;
  • 6) 0,036 451 554 56 × 2 = 0 + 0,072 903 109 12;
  • 7) 0,072 903 109 12 × 2 = 0 + 0,145 806 218 24;
  • 8) 0,145 806 218 24 × 2 = 0 + 0,291 612 436 48;
  • 9) 0,291 612 436 48 × 2 = 0 + 0,583 224 872 96;
  • 10) 0,583 224 872 96 × 2 = 1 + 0,166 449 745 92;
  • 11) 0,166 449 745 92 × 2 = 0 + 0,332 899 491 84;
  • 12) 0,332 899 491 84 × 2 = 0 + 0,665 798 983 68;
  • 13) 0,665 798 983 68 × 2 = 1 + 0,331 597 967 36;
  • 14) 0,331 597 967 36 × 2 = 0 + 0,663 195 934 72;
  • 15) 0,663 195 934 72 × 2 = 1 + 0,326 391 869 44;
  • 16) 0,326 391 869 44 × 2 = 0 + 0,652 783 738 88;
  • 17) 0,652 783 738 88 × 2 = 1 + 0,305 567 477 76;
  • 18) 0,305 567 477 76 × 2 = 0 + 0,611 134 955 52;
  • 19) 0,611 134 955 52 × 2 = 1 + 0,222 269 911 04;
  • 20) 0,222 269 911 04 × 2 = 0 + 0,444 539 822 08;
  • 21) 0,444 539 822 08 × 2 = 0 + 0,889 079 644 16;
  • 22) 0,889 079 644 16 × 2 = 1 + 0,778 159 288 32;
  • 23) 0,778 159 288 32 × 2 = 1 + 0,556 318 576 64;
  • 24) 0,556 318 576 64 × 2 = 1 + 0,112 637 153 28;
  • 25) 0,112 637 153 28 × 2 = 0 + 0,225 274 306 56;
  • 26) 0,225 274 306 56 × 2 = 0 + 0,450 548 613 12;
  • 27) 0,450 548 613 12 × 2 = 0 + 0,901 097 226 24;
  • 28) 0,901 097 226 24 × 2 = 1 + 0,802 194 452 48;
  • 29) 0,802 194 452 48 × 2 = 1 + 0,604 388 904 96;
  • 30) 0,604 388 904 96 × 2 = 1 + 0,208 777 809 92;
  • 31) 0,208 777 809 92 × 2 = 0 + 0,417 555 619 84;
  • 32) 0,417 555 619 84 × 2 = 0 + 0,835 111 239 68;
  • 33) 0,835 111 239 68 × 2 = 1 + 0,670 222 479 36;
  • 34) 0,670 222 479 36 × 2 = 1 + 0,340 444 958 72;
  • 35) 0,340 444 958 72 × 2 = 0 + 0,680 889 917 44;
  • 36) 0,680 889 917 44 × 2 = 1 + 0,361 779 834 88;
  • 37) 0,361 779 834 88 × 2 = 0 + 0,723 559 669 76;
  • 38) 0,723 559 669 76 × 2 = 1 + 0,447 119 339 52;
  • 39) 0,447 119 339 52 × 2 = 0 + 0,894 238 679 04;
  • 40) 0,894 238 679 04 × 2 = 1 + 0,788 477 358 08;
  • 41) 0,788 477 358 08 × 2 = 1 + 0,576 954 716 16;
  • 42) 0,576 954 716 16 × 2 = 1 + 0,153 909 432 32;
  • 43) 0,153 909 432 32 × 2 = 0 + 0,307 818 864 64;
  • 44) 0,307 818 864 64 × 2 = 0 + 0,615 637 729 28;
  • 45) 0,615 637 729 28 × 2 = 1 + 0,231 275 458 56;
  • 46) 0,231 275 458 56 × 2 = 0 + 0,462 550 917 12;
  • 47) 0,462 550 917 12 × 2 = 0 + 0,925 101 834 24;
  • 48) 0,925 101 834 24 × 2 = 1 + 0,850 203 668 48;
  • 49) 0,850 203 668 48 × 2 = 1 + 0,700 407 336 96;
  • 50) 0,700 407 336 96 × 2 = 1 + 0,400 814 673 92;
  • 51) 0,400 814 673 92 × 2 = 0 + 0,801 629 347 84;
  • 52) 0,801 629 347 84 × 2 = 1 + 0,603 258 695 68;
  • 53) 0,603 258 695 68 × 2 = 1 + 0,206 517 391 36;
  • 54) 0,206 517 391 36 × 2 = 0 + 0,413 034 782 72;
  • 55) 0,413 034 782 72 × 2 = 0 + 0,826 069 565 44;
  • 56) 0,826 069 565 44 × 2 = 1 + 0,652 139 130 88;
  • 57) 0,652 139 130 88 × 2 = 1 + 0,304 278 261 76;
  • 58) 0,304 278 261 76 × 2 = 0 + 0,608 556 523 52;
  • 59) 0,608 556 523 52 × 2 = 1 + 0,217 113 047 04;
  • 60) 0,217 113 047 04 × 2 = 0 + 0,434 226 094 08;
  • 61) 0,434 226 094 08 × 2 = 0 + 0,868 452 188 16;
  • 62) 0,868 452 188 16 × 2 = 1 + 0,736 904 376 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,001 139 111 08(10) =

0,0000 0000 0100 1010 1010 0111 0001 1100 1101 0101 1100 1001 1101 1001 1010 01(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,001 139 111 08(10) =

0,0000 0000 0100 1010 1010 0111 0001 1100 1101 0101 1100 1001 1101 1001 1010 01(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,001 139 111 08(10) =

0,0000 0000 0100 1010 1010 0111 0001 1100 1101 0101 1100 1001 1101 1001 1010 01(2) =

0,0000 0000 0100 1010 1010 0111 0001 1100 1101 0101 1100 1001 1101 1001 1010 01(2) × 20 =

1,0010 1010 1001 1100 0111 0011 0101 0111 0010 0111 0110 0110 1001(2) × 2-10


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -10

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1010 1001 1100 0111 0011 0101 0111 0010 0111 0110 0110 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-10 + 2(11-1) - 1 =

(-10 + 1 023)(10) =

1 013(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 013 : 2 = 506 + 1;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1013(10) =

011 1111 0101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1010 1001 1100 0111 0011 0101 0111 0010 0111 0110 0110 1001 =

0010 1010 1001 1100 0111 0011 0101 0111 0010 0111 0110 0110 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0101

Mantisă (52 biți) =
0010 1010 1001 1100 0111 0011 0101 0111 0010 0111 0110 0110 1001


Numărul zecimal -0,001 139 111 08 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0101 - 0010 1010 1001 1100 0111 0011 0101 0111 0010 0111 0110 0110 1001

» Scriere -0,001 139 111 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100