-0,001 196 885 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,001 196 885(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,001 196 885(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,001 196 885| = 0,001 196 885


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,001 196 885.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,001 196 885 × 2 = 0 + 0,002 393 77;
  • 2) 0,002 393 77 × 2 = 0 + 0,004 787 54;
  • 3) 0,004 787 54 × 2 = 0 + 0,009 575 08;
  • 4) 0,009 575 08 × 2 = 0 + 0,019 150 16;
  • 5) 0,019 150 16 × 2 = 0 + 0,038 300 32;
  • 6) 0,038 300 32 × 2 = 0 + 0,076 600 64;
  • 7) 0,076 600 64 × 2 = 0 + 0,153 201 28;
  • 8) 0,153 201 28 × 2 = 0 + 0,306 402 56;
  • 9) 0,306 402 56 × 2 = 0 + 0,612 805 12;
  • 10) 0,612 805 12 × 2 = 1 + 0,225 610 24;
  • 11) 0,225 610 24 × 2 = 0 + 0,451 220 48;
  • 12) 0,451 220 48 × 2 = 0 + 0,902 440 96;
  • 13) 0,902 440 96 × 2 = 1 + 0,804 881 92;
  • 14) 0,804 881 92 × 2 = 1 + 0,609 763 84;
  • 15) 0,609 763 84 × 2 = 1 + 0,219 527 68;
  • 16) 0,219 527 68 × 2 = 0 + 0,439 055 36;
  • 17) 0,439 055 36 × 2 = 0 + 0,878 110 72;
  • 18) 0,878 110 72 × 2 = 1 + 0,756 221 44;
  • 19) 0,756 221 44 × 2 = 1 + 0,512 442 88;
  • 20) 0,512 442 88 × 2 = 1 + 0,024 885 76;
  • 21) 0,024 885 76 × 2 = 0 + 0,049 771 52;
  • 22) 0,049 771 52 × 2 = 0 + 0,099 543 04;
  • 23) 0,099 543 04 × 2 = 0 + 0,199 086 08;
  • 24) 0,199 086 08 × 2 = 0 + 0,398 172 16;
  • 25) 0,398 172 16 × 2 = 0 + 0,796 344 32;
  • 26) 0,796 344 32 × 2 = 1 + 0,592 688 64;
  • 27) 0,592 688 64 × 2 = 1 + 0,185 377 28;
  • 28) 0,185 377 28 × 2 = 0 + 0,370 754 56;
  • 29) 0,370 754 56 × 2 = 0 + 0,741 509 12;
  • 30) 0,741 509 12 × 2 = 1 + 0,483 018 24;
  • 31) 0,483 018 24 × 2 = 0 + 0,966 036 48;
  • 32) 0,966 036 48 × 2 = 1 + 0,932 072 96;
  • 33) 0,932 072 96 × 2 = 1 + 0,864 145 92;
  • 34) 0,864 145 92 × 2 = 1 + 0,728 291 84;
  • 35) 0,728 291 84 × 2 = 1 + 0,456 583 68;
  • 36) 0,456 583 68 × 2 = 0 + 0,913 167 36;
  • 37) 0,913 167 36 × 2 = 1 + 0,826 334 72;
  • 38) 0,826 334 72 × 2 = 1 + 0,652 669 44;
  • 39) 0,652 669 44 × 2 = 1 + 0,305 338 88;
  • 40) 0,305 338 88 × 2 = 0 + 0,610 677 76;
  • 41) 0,610 677 76 × 2 = 1 + 0,221 355 52;
  • 42) 0,221 355 52 × 2 = 0 + 0,442 711 04;
  • 43) 0,442 711 04 × 2 = 0 + 0,885 422 08;
  • 44) 0,885 422 08 × 2 = 1 + 0,770 844 16;
  • 45) 0,770 844 16 × 2 = 1 + 0,541 688 32;
  • 46) 0,541 688 32 × 2 = 1 + 0,083 376 64;
  • 47) 0,083 376 64 × 2 = 0 + 0,166 753 28;
  • 48) 0,166 753 28 × 2 = 0 + 0,333 506 56;
  • 49) 0,333 506 56 × 2 = 0 + 0,667 013 12;
  • 50) 0,667 013 12 × 2 = 1 + 0,334 026 24;
  • 51) 0,334 026 24 × 2 = 0 + 0,668 052 48;
  • 52) 0,668 052 48 × 2 = 1 + 0,336 104 96;
  • 53) 0,336 104 96 × 2 = 0 + 0,672 209 92;
  • 54) 0,672 209 92 × 2 = 1 + 0,344 419 84;
  • 55) 0,344 419 84 × 2 = 0 + 0,688 839 68;
  • 56) 0,688 839 68 × 2 = 1 + 0,377 679 36;
  • 57) 0,377 679 36 × 2 = 0 + 0,755 358 72;
  • 58) 0,755 358 72 × 2 = 1 + 0,510 717 44;
  • 59) 0,510 717 44 × 2 = 1 + 0,021 434 88;
  • 60) 0,021 434 88 × 2 = 0 + 0,042 869 76;
  • 61) 0,042 869 76 × 2 = 0 + 0,085 739 52;
  • 62) 0,085 739 52 × 2 = 0 + 0,171 479 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,001 196 885(10) =

0,0000 0000 0100 1110 0111 0000 0110 0101 1110 1110 1001 1100 0101 0101 0110 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,001 196 885(10) =

0,0000 0000 0100 1110 0111 0000 0110 0101 1110 1110 1001 1100 0101 0101 0110 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,001 196 885(10) =

0,0000 0000 0100 1110 0111 0000 0110 0101 1110 1110 1001 1100 0101 0101 0110 00(2) =

0,0000 0000 0100 1110 0111 0000 0110 0101 1110 1110 1001 1100 0101 0101 0110 00(2) × 20 =

1,0011 1001 1100 0001 1001 0111 1011 1010 0111 0001 0101 0101 1000(2) × 2-10


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -10

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1001 1100 0001 1001 0111 1011 1010 0111 0001 0101 0101 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-10 + 2(11-1) - 1 =

(-10 + 1 023)(10) =

1 013(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 013 : 2 = 506 + 1;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1013(10) =

011 1111 0101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1001 1100 0001 1001 0111 1011 1010 0111 0001 0101 0101 1000 =

0011 1001 1100 0001 1001 0111 1011 1010 0111 0001 0101 0101 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0101

Mantisă (52 biți) =
0011 1001 1100 0001 1001 0111 1011 1010 0111 0001 0101 0101 1000


Numărul zecimal -0,001 196 885 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0101 - 0011 1001 1100 0001 1001 0111 1011 1010 0111 0001 0101 0101 1000

Distribuie

» Scriere -0,001 196 86 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100