-0,001 675 685 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,001 675 685 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,001 675 685 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,001 675 685 8| = 0,001 675 685 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,001 675 685 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,001 675 685 8 × 2 = 0 + 0,003 351 371 6;
  • 2) 0,003 351 371 6 × 2 = 0 + 0,006 702 743 2;
  • 3) 0,006 702 743 2 × 2 = 0 + 0,013 405 486 4;
  • 4) 0,013 405 486 4 × 2 = 0 + 0,026 810 972 8;
  • 5) 0,026 810 972 8 × 2 = 0 + 0,053 621 945 6;
  • 6) 0,053 621 945 6 × 2 = 0 + 0,107 243 891 2;
  • 7) 0,107 243 891 2 × 2 = 0 + 0,214 487 782 4;
  • 8) 0,214 487 782 4 × 2 = 0 + 0,428 975 564 8;
  • 9) 0,428 975 564 8 × 2 = 0 + 0,857 951 129 6;
  • 10) 0,857 951 129 6 × 2 = 1 + 0,715 902 259 2;
  • 11) 0,715 902 259 2 × 2 = 1 + 0,431 804 518 4;
  • 12) 0,431 804 518 4 × 2 = 0 + 0,863 609 036 8;
  • 13) 0,863 609 036 8 × 2 = 1 + 0,727 218 073 6;
  • 14) 0,727 218 073 6 × 2 = 1 + 0,454 436 147 2;
  • 15) 0,454 436 147 2 × 2 = 0 + 0,908 872 294 4;
  • 16) 0,908 872 294 4 × 2 = 1 + 0,817 744 588 8;
  • 17) 0,817 744 588 8 × 2 = 1 + 0,635 489 177 6;
  • 18) 0,635 489 177 6 × 2 = 1 + 0,270 978 355 2;
  • 19) 0,270 978 355 2 × 2 = 0 + 0,541 956 710 4;
  • 20) 0,541 956 710 4 × 2 = 1 + 0,083 913 420 8;
  • 21) 0,083 913 420 8 × 2 = 0 + 0,167 826 841 6;
  • 22) 0,167 826 841 6 × 2 = 0 + 0,335 653 683 2;
  • 23) 0,335 653 683 2 × 2 = 0 + 0,671 307 366 4;
  • 24) 0,671 307 366 4 × 2 = 1 + 0,342 614 732 8;
  • 25) 0,342 614 732 8 × 2 = 0 + 0,685 229 465 6;
  • 26) 0,685 229 465 6 × 2 = 1 + 0,370 458 931 2;
  • 27) 0,370 458 931 2 × 2 = 0 + 0,740 917 862 4;
  • 28) 0,740 917 862 4 × 2 = 1 + 0,481 835 724 8;
  • 29) 0,481 835 724 8 × 2 = 0 + 0,963 671 449 6;
  • 30) 0,963 671 449 6 × 2 = 1 + 0,927 342 899 2;
  • 31) 0,927 342 899 2 × 2 = 1 + 0,854 685 798 4;
  • 32) 0,854 685 798 4 × 2 = 1 + 0,709 371 596 8;
  • 33) 0,709 371 596 8 × 2 = 1 + 0,418 743 193 6;
  • 34) 0,418 743 193 6 × 2 = 0 + 0,837 486 387 2;
  • 35) 0,837 486 387 2 × 2 = 1 + 0,674 972 774 4;
  • 36) 0,674 972 774 4 × 2 = 1 + 0,349 945 548 8;
  • 37) 0,349 945 548 8 × 2 = 0 + 0,699 891 097 6;
  • 38) 0,699 891 097 6 × 2 = 1 + 0,399 782 195 2;
  • 39) 0,399 782 195 2 × 2 = 0 + 0,799 564 390 4;
  • 40) 0,799 564 390 4 × 2 = 1 + 0,599 128 780 8;
  • 41) 0,599 128 780 8 × 2 = 1 + 0,198 257 561 6;
  • 42) 0,198 257 561 6 × 2 = 0 + 0,396 515 123 2;
  • 43) 0,396 515 123 2 × 2 = 0 + 0,793 030 246 4;
  • 44) 0,793 030 246 4 × 2 = 1 + 0,586 060 492 8;
  • 45) 0,586 060 492 8 × 2 = 1 + 0,172 120 985 6;
  • 46) 0,172 120 985 6 × 2 = 0 + 0,344 241 971 2;
  • 47) 0,344 241 971 2 × 2 = 0 + 0,688 483 942 4;
  • 48) 0,688 483 942 4 × 2 = 1 + 0,376 967 884 8;
  • 49) 0,376 967 884 8 × 2 = 0 + 0,753 935 769 6;
  • 50) 0,753 935 769 6 × 2 = 1 + 0,507 871 539 2;
  • 51) 0,507 871 539 2 × 2 = 1 + 0,015 743 078 4;
  • 52) 0,015 743 078 4 × 2 = 0 + 0,031 486 156 8;
  • 53) 0,031 486 156 8 × 2 = 0 + 0,062 972 313 6;
  • 54) 0,062 972 313 6 × 2 = 0 + 0,125 944 627 2;
  • 55) 0,125 944 627 2 × 2 = 0 + 0,251 889 254 4;
  • 56) 0,251 889 254 4 × 2 = 0 + 0,503 778 508 8;
  • 57) 0,503 778 508 8 × 2 = 1 + 0,007 557 017 6;
  • 58) 0,007 557 017 6 × 2 = 0 + 0,015 114 035 2;
  • 59) 0,015 114 035 2 × 2 = 0 + 0,030 228 070 4;
  • 60) 0,030 228 070 4 × 2 = 0 + 0,060 456 140 8;
  • 61) 0,060 456 140 8 × 2 = 0 + 0,120 912 281 6;
  • 62) 0,120 912 281 6 × 2 = 0 + 0,241 824 563 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,001 675 685 8(10) =

0,0000 0000 0110 1101 1101 0001 0101 0111 1011 0101 1001 1001 0110 0000 1000 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,001 675 685 8(10) =

0,0000 0000 0110 1101 1101 0001 0101 0111 1011 0101 1001 1001 0110 0000 1000 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,001 675 685 8(10) =

0,0000 0000 0110 1101 1101 0001 0101 0111 1011 0101 1001 1001 0110 0000 1000 00(2) =

0,0000 0000 0110 1101 1101 0001 0101 0111 1011 0101 1001 1001 0110 0000 1000 00(2) × 20 =

1,1011 0111 0100 0101 0101 1110 1101 0110 0110 0101 1000 0010 0000(2) × 2-10


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -10

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0111 0100 0101 0101 1110 1101 0110 0110 0101 1000 0010 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-10 + 2(11-1) - 1 =

(-10 + 1 023)(10) =

1 013(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 013 : 2 = 506 + 1;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1013(10) =

011 1111 0101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0111 0100 0101 0101 1110 1101 0110 0110 0101 1000 0010 0000 =

1011 0111 0100 0101 0101 1110 1101 0110 0110 0101 1000 0010 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0101

Mantisă (52 biți) =
1011 0111 0100 0101 0101 1110 1101 0110 0110 0101 1000 0010 0000


Numărul zecimal -0,001 675 685 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0101 - 1011 0111 0100 0101 0101 1110 1101 0110 0110 0101 1000 0010 0000

Distribuie

» Scriere -0,001 675 692 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100