-0,001 976 355 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,001 976 355 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,001 976 355 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,001 976 355 9| = 0,001 976 355 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,001 976 355 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,001 976 355 9 × 2 = 0 + 0,003 952 711 8;
  • 2) 0,003 952 711 8 × 2 = 0 + 0,007 905 423 6;
  • 3) 0,007 905 423 6 × 2 = 0 + 0,015 810 847 2;
  • 4) 0,015 810 847 2 × 2 = 0 + 0,031 621 694 4;
  • 5) 0,031 621 694 4 × 2 = 0 + 0,063 243 388 8;
  • 6) 0,063 243 388 8 × 2 = 0 + 0,126 486 777 6;
  • 7) 0,126 486 777 6 × 2 = 0 + 0,252 973 555 2;
  • 8) 0,252 973 555 2 × 2 = 0 + 0,505 947 110 4;
  • 9) 0,505 947 110 4 × 2 = 1 + 0,011 894 220 8;
  • 10) 0,011 894 220 8 × 2 = 0 + 0,023 788 441 6;
  • 11) 0,023 788 441 6 × 2 = 0 + 0,047 576 883 2;
  • 12) 0,047 576 883 2 × 2 = 0 + 0,095 153 766 4;
  • 13) 0,095 153 766 4 × 2 = 0 + 0,190 307 532 8;
  • 14) 0,190 307 532 8 × 2 = 0 + 0,380 615 065 6;
  • 15) 0,380 615 065 6 × 2 = 0 + 0,761 230 131 2;
  • 16) 0,761 230 131 2 × 2 = 1 + 0,522 460 262 4;
  • 17) 0,522 460 262 4 × 2 = 1 + 0,044 920 524 8;
  • 18) 0,044 920 524 8 × 2 = 0 + 0,089 841 049 6;
  • 19) 0,089 841 049 6 × 2 = 0 + 0,179 682 099 2;
  • 20) 0,179 682 099 2 × 2 = 0 + 0,359 364 198 4;
  • 21) 0,359 364 198 4 × 2 = 0 + 0,718 728 396 8;
  • 22) 0,718 728 396 8 × 2 = 1 + 0,437 456 793 6;
  • 23) 0,437 456 793 6 × 2 = 0 + 0,874 913 587 2;
  • 24) 0,874 913 587 2 × 2 = 1 + 0,749 827 174 4;
  • 25) 0,749 827 174 4 × 2 = 1 + 0,499 654 348 8;
  • 26) 0,499 654 348 8 × 2 = 0 + 0,999 308 697 6;
  • 27) 0,999 308 697 6 × 2 = 1 + 0,998 617 395 2;
  • 28) 0,998 617 395 2 × 2 = 1 + 0,997 234 790 4;
  • 29) 0,997 234 790 4 × 2 = 1 + 0,994 469 580 8;
  • 30) 0,994 469 580 8 × 2 = 1 + 0,988 939 161 6;
  • 31) 0,988 939 161 6 × 2 = 1 + 0,977 878 323 2;
  • 32) 0,977 878 323 2 × 2 = 1 + 0,955 756 646 4;
  • 33) 0,955 756 646 4 × 2 = 1 + 0,911 513 292 8;
  • 34) 0,911 513 292 8 × 2 = 1 + 0,823 026 585 6;
  • 35) 0,823 026 585 6 × 2 = 1 + 0,646 053 171 2;
  • 36) 0,646 053 171 2 × 2 = 1 + 0,292 106 342 4;
  • 37) 0,292 106 342 4 × 2 = 0 + 0,584 212 684 8;
  • 38) 0,584 212 684 8 × 2 = 1 + 0,168 425 369 6;
  • 39) 0,168 425 369 6 × 2 = 0 + 0,336 850 739 2;
  • 40) 0,336 850 739 2 × 2 = 0 + 0,673 701 478 4;
  • 41) 0,673 701 478 4 × 2 = 1 + 0,347 402 956 8;
  • 42) 0,347 402 956 8 × 2 = 0 + 0,694 805 913 6;
  • 43) 0,694 805 913 6 × 2 = 1 + 0,389 611 827 2;
  • 44) 0,389 611 827 2 × 2 = 0 + 0,779 223 654 4;
  • 45) 0,779 223 654 4 × 2 = 1 + 0,558 447 308 8;
  • 46) 0,558 447 308 8 × 2 = 1 + 0,116 894 617 6;
  • 47) 0,116 894 617 6 × 2 = 0 + 0,233 789 235 2;
  • 48) 0,233 789 235 2 × 2 = 0 + 0,467 578 470 4;
  • 49) 0,467 578 470 4 × 2 = 0 + 0,935 156 940 8;
  • 50) 0,935 156 940 8 × 2 = 1 + 0,870 313 881 6;
  • 51) 0,870 313 881 6 × 2 = 1 + 0,740 627 763 2;
  • 52) 0,740 627 763 2 × 2 = 1 + 0,481 255 526 4;
  • 53) 0,481 255 526 4 × 2 = 0 + 0,962 511 052 8;
  • 54) 0,962 511 052 8 × 2 = 1 + 0,925 022 105 6;
  • 55) 0,925 022 105 6 × 2 = 1 + 0,850 044 211 2;
  • 56) 0,850 044 211 2 × 2 = 1 + 0,700 088 422 4;
  • 57) 0,700 088 422 4 × 2 = 1 + 0,400 176 844 8;
  • 58) 0,400 176 844 8 × 2 = 0 + 0,800 353 689 6;
  • 59) 0,800 353 689 6 × 2 = 1 + 0,600 707 379 2;
  • 60) 0,600 707 379 2 × 2 = 1 + 0,201 414 758 4;
  • 61) 0,201 414 758 4 × 2 = 0 + 0,402 829 516 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,001 976 355 9(10) =

0,0000 0000 1000 0001 1000 0101 1011 1111 1111 0100 1010 1100 0111 0111 1011 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,001 976 355 9(10) =

0,0000 0000 1000 0001 1000 0101 1011 1111 1111 0100 1010 1100 0111 0111 1011 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,001 976 355 9(10) =

0,0000 0000 1000 0001 1000 0101 1011 1111 1111 0100 1010 1100 0111 0111 1011 0(2) =

0,0000 0000 1000 0001 1000 0101 1011 1111 1111 0100 1010 1100 0111 0111 1011 0(2) × 20 =

1,0000 0011 0000 1011 0111 1111 1110 1001 0101 1000 1110 1111 0110(2) × 2-9


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -9

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0011 0000 1011 0111 1111 1110 1001 0101 1000 1110 1111 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-9 + 2(11-1) - 1 =

(-9 + 1 023)(10) =

1 014(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 014 : 2 = 507 + 0;
  • 507 : 2 = 253 + 1;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1014(10) =

011 1111 0110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0011 0000 1011 0111 1111 1110 1001 0101 1000 1110 1111 0110 =

0000 0011 0000 1011 0111 1111 1110 1001 0101 1000 1110 1111 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0110

Mantisă (52 biți) =
0000 0011 0000 1011 0111 1111 1110 1001 0101 1000 1110 1111 0110


Numărul zecimal -0,001 976 355 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0110 - 0000 0011 0000 1011 0111 1111 1110 1001 0101 1000 1110 1111 0110

Distribuie

» Scriere -0,001 976 351 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100