-0,003 260 882 039 893 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,003 260 882 039 893(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,003 260 882 039 893(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,003 260 882 039 893| = 0,003 260 882 039 893


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,003 260 882 039 893.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,003 260 882 039 893 × 2 = 0 + 0,006 521 764 079 786;
  • 2) 0,006 521 764 079 786 × 2 = 0 + 0,013 043 528 159 572;
  • 3) 0,013 043 528 159 572 × 2 = 0 + 0,026 087 056 319 144;
  • 4) 0,026 087 056 319 144 × 2 = 0 + 0,052 174 112 638 288;
  • 5) 0,052 174 112 638 288 × 2 = 0 + 0,104 348 225 276 576;
  • 6) 0,104 348 225 276 576 × 2 = 0 + 0,208 696 450 553 152;
  • 7) 0,208 696 450 553 152 × 2 = 0 + 0,417 392 901 106 304;
  • 8) 0,417 392 901 106 304 × 2 = 0 + 0,834 785 802 212 608;
  • 9) 0,834 785 802 212 608 × 2 = 1 + 0,669 571 604 425 216;
  • 10) 0,669 571 604 425 216 × 2 = 1 + 0,339 143 208 850 432;
  • 11) 0,339 143 208 850 432 × 2 = 0 + 0,678 286 417 700 864;
  • 12) 0,678 286 417 700 864 × 2 = 1 + 0,356 572 835 401 728;
  • 13) 0,356 572 835 401 728 × 2 = 0 + 0,713 145 670 803 456;
  • 14) 0,713 145 670 803 456 × 2 = 1 + 0,426 291 341 606 912;
  • 15) 0,426 291 341 606 912 × 2 = 0 + 0,852 582 683 213 824;
  • 16) 0,852 582 683 213 824 × 2 = 1 + 0,705 165 366 427 648;
  • 17) 0,705 165 366 427 648 × 2 = 1 + 0,410 330 732 855 296;
  • 18) 0,410 330 732 855 296 × 2 = 0 + 0,820 661 465 710 592;
  • 19) 0,820 661 465 710 592 × 2 = 1 + 0,641 322 931 421 184;
  • 20) 0,641 322 931 421 184 × 2 = 1 + 0,282 645 862 842 368;
  • 21) 0,282 645 862 842 368 × 2 = 0 + 0,565 291 725 684 736;
  • 22) 0,565 291 725 684 736 × 2 = 1 + 0,130 583 451 369 472;
  • 23) 0,130 583 451 369 472 × 2 = 0 + 0,261 166 902 738 944;
  • 24) 0,261 166 902 738 944 × 2 = 0 + 0,522 333 805 477 888;
  • 25) 0,522 333 805 477 888 × 2 = 1 + 0,044 667 610 955 776;
  • 26) 0,044 667 610 955 776 × 2 = 0 + 0,089 335 221 911 552;
  • 27) 0,089 335 221 911 552 × 2 = 0 + 0,178 670 443 823 104;
  • 28) 0,178 670 443 823 104 × 2 = 0 + 0,357 340 887 646 208;
  • 29) 0,357 340 887 646 208 × 2 = 0 + 0,714 681 775 292 416;
  • 30) 0,714 681 775 292 416 × 2 = 1 + 0,429 363 550 584 832;
  • 31) 0,429 363 550 584 832 × 2 = 0 + 0,858 727 101 169 664;
  • 32) 0,858 727 101 169 664 × 2 = 1 + 0,717 454 202 339 328;
  • 33) 0,717 454 202 339 328 × 2 = 1 + 0,434 908 404 678 656;
  • 34) 0,434 908 404 678 656 × 2 = 0 + 0,869 816 809 357 312;
  • 35) 0,869 816 809 357 312 × 2 = 1 + 0,739 633 618 714 624;
  • 36) 0,739 633 618 714 624 × 2 = 1 + 0,479 267 237 429 248;
  • 37) 0,479 267 237 429 248 × 2 = 0 + 0,958 534 474 858 496;
  • 38) 0,958 534 474 858 496 × 2 = 1 + 0,917 068 949 716 992;
  • 39) 0,917 068 949 716 992 × 2 = 1 + 0,834 137 899 433 984;
  • 40) 0,834 137 899 433 984 × 2 = 1 + 0,668 275 798 867 968;
  • 41) 0,668 275 798 867 968 × 2 = 1 + 0,336 551 597 735 936;
  • 42) 0,336 551 597 735 936 × 2 = 0 + 0,673 103 195 471 872;
  • 43) 0,673 103 195 471 872 × 2 = 1 + 0,346 206 390 943 744;
  • 44) 0,346 206 390 943 744 × 2 = 0 + 0,692 412 781 887 488;
  • 45) 0,692 412 781 887 488 × 2 = 1 + 0,384 825 563 774 976;
  • 46) 0,384 825 563 774 976 × 2 = 0 + 0,769 651 127 549 952;
  • 47) 0,769 651 127 549 952 × 2 = 1 + 0,539 302 255 099 904;
  • 48) 0,539 302 255 099 904 × 2 = 1 + 0,078 604 510 199 808;
  • 49) 0,078 604 510 199 808 × 2 = 0 + 0,157 209 020 399 616;
  • 50) 0,157 209 020 399 616 × 2 = 0 + 0,314 418 040 799 232;
  • 51) 0,314 418 040 799 232 × 2 = 0 + 0,628 836 081 598 464;
  • 52) 0,628 836 081 598 464 × 2 = 1 + 0,257 672 163 196 928;
  • 53) 0,257 672 163 196 928 × 2 = 0 + 0,515 344 326 393 856;
  • 54) 0,515 344 326 393 856 × 2 = 1 + 0,030 688 652 787 712;
  • 55) 0,030 688 652 787 712 × 2 = 0 + 0,061 377 305 575 424;
  • 56) 0,061 377 305 575 424 × 2 = 0 + 0,122 754 611 150 848;
  • 57) 0,122 754 611 150 848 × 2 = 0 + 0,245 509 222 301 696;
  • 58) 0,245 509 222 301 696 × 2 = 0 + 0,491 018 444 603 392;
  • 59) 0,491 018 444 603 392 × 2 = 0 + 0,982 036 889 206 784;
  • 60) 0,982 036 889 206 784 × 2 = 1 + 0,964 073 778 413 568;
  • 61) 0,964 073 778 413 568 × 2 = 1 + 0,928 147 556 827 136;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,003 260 882 039 893(10) =

0,0000 0000 1101 0101 1011 0100 1000 0101 1011 0111 1010 1011 0001 0100 0001 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,003 260 882 039 893(10) =

0,0000 0000 1101 0101 1011 0100 1000 0101 1011 0111 1010 1011 0001 0100 0001 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,003 260 882 039 893(10) =

0,0000 0000 1101 0101 1011 0100 1000 0101 1011 0111 1010 1011 0001 0100 0001 1(2) =

0,0000 0000 1101 0101 1011 0100 1000 0101 1011 0111 1010 1011 0001 0100 0001 1(2) × 20 =

1,1010 1011 0110 1001 0000 1011 0110 1111 0101 0110 0010 1000 0011(2) × 2-9


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -9

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1011 0110 1001 0000 1011 0110 1111 0101 0110 0010 1000 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-9 + 2(11-1) - 1 =

(-9 + 1 023)(10) =

1 014(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 014 : 2 = 507 + 0;
  • 507 : 2 = 253 + 1;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1014(10) =

011 1111 0110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 1011 0110 1001 0000 1011 0110 1111 0101 0110 0010 1000 0011 =

1010 1011 0110 1001 0000 1011 0110 1111 0101 0110 0010 1000 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0110

Mantisă (52 biți) =
1010 1011 0110 1001 0000 1011 0110 1111 0101 0110 0010 1000 0011


Numărul zecimal -0,003 260 882 039 893 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0110 - 1010 1011 0110 1001 0000 1011 0110 1111 0101 0110 0010 1000 0011

Distribuie

» Scriere -0,003 260 882 039 922 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100