-0,005 934 740 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,005 934 740 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,005 934 740 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,005 934 740 4| = 0,005 934 740 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,005 934 740 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,005 934 740 4 × 2 = 0 + 0,011 869 480 8;
  • 2) 0,011 869 480 8 × 2 = 0 + 0,023 738 961 6;
  • 3) 0,023 738 961 6 × 2 = 0 + 0,047 477 923 2;
  • 4) 0,047 477 923 2 × 2 = 0 + 0,094 955 846 4;
  • 5) 0,094 955 846 4 × 2 = 0 + 0,189 911 692 8;
  • 6) 0,189 911 692 8 × 2 = 0 + 0,379 823 385 6;
  • 7) 0,379 823 385 6 × 2 = 0 + 0,759 646 771 2;
  • 8) 0,759 646 771 2 × 2 = 1 + 0,519 293 542 4;
  • 9) 0,519 293 542 4 × 2 = 1 + 0,038 587 084 8;
  • 10) 0,038 587 084 8 × 2 = 0 + 0,077 174 169 6;
  • 11) 0,077 174 169 6 × 2 = 0 + 0,154 348 339 2;
  • 12) 0,154 348 339 2 × 2 = 0 + 0,308 696 678 4;
  • 13) 0,308 696 678 4 × 2 = 0 + 0,617 393 356 8;
  • 14) 0,617 393 356 8 × 2 = 1 + 0,234 786 713 6;
  • 15) 0,234 786 713 6 × 2 = 0 + 0,469 573 427 2;
  • 16) 0,469 573 427 2 × 2 = 0 + 0,939 146 854 4;
  • 17) 0,939 146 854 4 × 2 = 1 + 0,878 293 708 8;
  • 18) 0,878 293 708 8 × 2 = 1 + 0,756 587 417 6;
  • 19) 0,756 587 417 6 × 2 = 1 + 0,513 174 835 2;
  • 20) 0,513 174 835 2 × 2 = 1 + 0,026 349 670 4;
  • 21) 0,026 349 670 4 × 2 = 0 + 0,052 699 340 8;
  • 22) 0,052 699 340 8 × 2 = 0 + 0,105 398 681 6;
  • 23) 0,105 398 681 6 × 2 = 0 + 0,210 797 363 2;
  • 24) 0,210 797 363 2 × 2 = 0 + 0,421 594 726 4;
  • 25) 0,421 594 726 4 × 2 = 0 + 0,843 189 452 8;
  • 26) 0,843 189 452 8 × 2 = 1 + 0,686 378 905 6;
  • 27) 0,686 378 905 6 × 2 = 1 + 0,372 757 811 2;
  • 28) 0,372 757 811 2 × 2 = 0 + 0,745 515 622 4;
  • 29) 0,745 515 622 4 × 2 = 1 + 0,491 031 244 8;
  • 30) 0,491 031 244 8 × 2 = 0 + 0,982 062 489 6;
  • 31) 0,982 062 489 6 × 2 = 1 + 0,964 124 979 2;
  • 32) 0,964 124 979 2 × 2 = 1 + 0,928 249 958 4;
  • 33) 0,928 249 958 4 × 2 = 1 + 0,856 499 916 8;
  • 34) 0,856 499 916 8 × 2 = 1 + 0,712 999 833 6;
  • 35) 0,712 999 833 6 × 2 = 1 + 0,425 999 667 2;
  • 36) 0,425 999 667 2 × 2 = 0 + 0,851 999 334 4;
  • 37) 0,851 999 334 4 × 2 = 1 + 0,703 998 668 8;
  • 38) 0,703 998 668 8 × 2 = 1 + 0,407 997 337 6;
  • 39) 0,407 997 337 6 × 2 = 0 + 0,815 994 675 2;
  • 40) 0,815 994 675 2 × 2 = 1 + 0,631 989 350 4;
  • 41) 0,631 989 350 4 × 2 = 1 + 0,263 978 700 8;
  • 42) 0,263 978 700 8 × 2 = 0 + 0,527 957 401 6;
  • 43) 0,527 957 401 6 × 2 = 1 + 0,055 914 803 2;
  • 44) 0,055 914 803 2 × 2 = 0 + 0,111 829 606 4;
  • 45) 0,111 829 606 4 × 2 = 0 + 0,223 659 212 8;
  • 46) 0,223 659 212 8 × 2 = 0 + 0,447 318 425 6;
  • 47) 0,447 318 425 6 × 2 = 0 + 0,894 636 851 2;
  • 48) 0,894 636 851 2 × 2 = 1 + 0,789 273 702 4;
  • 49) 0,789 273 702 4 × 2 = 1 + 0,578 547 404 8;
  • 50) 0,578 547 404 8 × 2 = 1 + 0,157 094 809 6;
  • 51) 0,157 094 809 6 × 2 = 0 + 0,314 189 619 2;
  • 52) 0,314 189 619 2 × 2 = 0 + 0,628 379 238 4;
  • 53) 0,628 379 238 4 × 2 = 1 + 0,256 758 476 8;
  • 54) 0,256 758 476 8 × 2 = 0 + 0,513 516 953 6;
  • 55) 0,513 516 953 6 × 2 = 1 + 0,027 033 907 2;
  • 56) 0,027 033 907 2 × 2 = 0 + 0,054 067 814 4;
  • 57) 0,054 067 814 4 × 2 = 0 + 0,108 135 628 8;
  • 58) 0,108 135 628 8 × 2 = 0 + 0,216 271 257 6;
  • 59) 0,216 271 257 6 × 2 = 0 + 0,432 542 515 2;
  • 60) 0,432 542 515 2 × 2 = 0 + 0,865 085 030 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,005 934 740 4(10) =

0,0000 0001 1000 0100 1111 0000 0110 1011 1110 1101 1010 0001 1100 1010 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,005 934 740 4(10) =

0,0000 0001 1000 0100 1111 0000 0110 1011 1110 1101 1010 0001 1100 1010 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 8 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,005 934 740 4(10) =

0,0000 0001 1000 0100 1111 0000 0110 1011 1110 1101 1010 0001 1100 1010 0000(2) =

0,0000 0001 1000 0100 1111 0000 0110 1011 1110 1101 1010 0001 1100 1010 0000(2) × 20 =

1,1000 0100 1111 0000 0110 1011 1110 1101 1010 0001 1100 1010 0000(2) × 2-8


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -8

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0100 1111 0000 0110 1011 1110 1101 1010 0001 1100 1010 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-8 + 2(11-1) - 1 =

(-8 + 1 023)(10) =

1 015(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 015 : 2 = 507 + 1;
  • 507 : 2 = 253 + 1;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1015(10) =

011 1111 0111(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0100 1111 0000 0110 1011 1110 1101 1010 0001 1100 1010 0000 =

1000 0100 1111 0000 0110 1011 1110 1101 1010 0001 1100 1010 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0111

Mantisă (52 biți) =
1000 0100 1111 0000 0110 1011 1110 1101 1010 0001 1100 1010 0000


Numărul zecimal -0,005 934 740 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0111 - 1000 0100 1111 0000 0110 1011 1110 1101 1010 0001 1100 1010 0000

» Scriere -0,005 934 741 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100