-0,008 788 423 608 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 608 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 608 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 608 9| = 0,008 788 423 608 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 608 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 608 9 × 2 = 0 + 0,017 576 847 217 8;
  • 2) 0,017 576 847 217 8 × 2 = 0 + 0,035 153 694 435 6;
  • 3) 0,035 153 694 435 6 × 2 = 0 + 0,070 307 388 871 2;
  • 4) 0,070 307 388 871 2 × 2 = 0 + 0,140 614 777 742 4;
  • 5) 0,140 614 777 742 4 × 2 = 0 + 0,281 229 555 484 8;
  • 6) 0,281 229 555 484 8 × 2 = 0 + 0,562 459 110 969 6;
  • 7) 0,562 459 110 969 6 × 2 = 1 + 0,124 918 221 939 2;
  • 8) 0,124 918 221 939 2 × 2 = 0 + 0,249 836 443 878 4;
  • 9) 0,249 836 443 878 4 × 2 = 0 + 0,499 672 887 756 8;
  • 10) 0,499 672 887 756 8 × 2 = 0 + 0,999 345 775 513 6;
  • 11) 0,999 345 775 513 6 × 2 = 1 + 0,998 691 551 027 2;
  • 12) 0,998 691 551 027 2 × 2 = 1 + 0,997 383 102 054 4;
  • 13) 0,997 383 102 054 4 × 2 = 1 + 0,994 766 204 108 8;
  • 14) 0,994 766 204 108 8 × 2 = 1 + 0,989 532 408 217 6;
  • 15) 0,989 532 408 217 6 × 2 = 1 + 0,979 064 816 435 2;
  • 16) 0,979 064 816 435 2 × 2 = 1 + 0,958 129 632 870 4;
  • 17) 0,958 129 632 870 4 × 2 = 1 + 0,916 259 265 740 8;
  • 18) 0,916 259 265 740 8 × 2 = 1 + 0,832 518 531 481 6;
  • 19) 0,832 518 531 481 6 × 2 = 1 + 0,665 037 062 963 2;
  • 20) 0,665 037 062 963 2 × 2 = 1 + 0,330 074 125 926 4;
  • 21) 0,330 074 125 926 4 × 2 = 0 + 0,660 148 251 852 8;
  • 22) 0,660 148 251 852 8 × 2 = 1 + 0,320 296 503 705 6;
  • 23) 0,320 296 503 705 6 × 2 = 0 + 0,640 593 007 411 2;
  • 24) 0,640 593 007 411 2 × 2 = 1 + 0,281 186 014 822 4;
  • 25) 0,281 186 014 822 4 × 2 = 0 + 0,562 372 029 644 8;
  • 26) 0,562 372 029 644 8 × 2 = 1 + 0,124 744 059 289 6;
  • 27) 0,124 744 059 289 6 × 2 = 0 + 0,249 488 118 579 2;
  • 28) 0,249 488 118 579 2 × 2 = 0 + 0,498 976 237 158 4;
  • 29) 0,498 976 237 158 4 × 2 = 0 + 0,997 952 474 316 8;
  • 30) 0,997 952 474 316 8 × 2 = 1 + 0,995 904 948 633 6;
  • 31) 0,995 904 948 633 6 × 2 = 1 + 0,991 809 897 267 2;
  • 32) 0,991 809 897 267 2 × 2 = 1 + 0,983 619 794 534 4;
  • 33) 0,983 619 794 534 4 × 2 = 1 + 0,967 239 589 068 8;
  • 34) 0,967 239 589 068 8 × 2 = 1 + 0,934 479 178 137 6;
  • 35) 0,934 479 178 137 6 × 2 = 1 + 0,868 958 356 275 2;
  • 36) 0,868 958 356 275 2 × 2 = 1 + 0,737 916 712 550 4;
  • 37) 0,737 916 712 550 4 × 2 = 1 + 0,475 833 425 100 8;
  • 38) 0,475 833 425 100 8 × 2 = 0 + 0,951 666 850 201 6;
  • 39) 0,951 666 850 201 6 × 2 = 1 + 0,903 333 700 403 2;
  • 40) 0,903 333 700 403 2 × 2 = 1 + 0,806 667 400 806 4;
  • 41) 0,806 667 400 806 4 × 2 = 1 + 0,613 334 801 612 8;
  • 42) 0,613 334 801 612 8 × 2 = 1 + 0,226 669 603 225 6;
  • 43) 0,226 669 603 225 6 × 2 = 0 + 0,453 339 206 451 2;
  • 44) 0,453 339 206 451 2 × 2 = 0 + 0,906 678 412 902 4;
  • 45) 0,906 678 412 902 4 × 2 = 1 + 0,813 356 825 804 8;
  • 46) 0,813 356 825 804 8 × 2 = 1 + 0,626 713 651 609 6;
  • 47) 0,626 713 651 609 6 × 2 = 1 + 0,253 427 303 219 2;
  • 48) 0,253 427 303 219 2 × 2 = 0 + 0,506 854 606 438 4;
  • 49) 0,506 854 606 438 4 × 2 = 1 + 0,013 709 212 876 8;
  • 50) 0,013 709 212 876 8 × 2 = 0 + 0,027 418 425 753 6;
  • 51) 0,027 418 425 753 6 × 2 = 0 + 0,054 836 851 507 2;
  • 52) 0,054 836 851 507 2 × 2 = 0 + 0,109 673 703 014 4;
  • 53) 0,109 673 703 014 4 × 2 = 0 + 0,219 347 406 028 8;
  • 54) 0,219 347 406 028 8 × 2 = 0 + 0,438 694 812 057 6;
  • 55) 0,438 694 812 057 6 × 2 = 0 + 0,877 389 624 115 2;
  • 56) 0,877 389 624 115 2 × 2 = 1 + 0,754 779 248 230 4;
  • 57) 0,754 779 248 230 4 × 2 = 1 + 0,509 558 496 460 8;
  • 58) 0,509 558 496 460 8 × 2 = 1 + 0,019 116 992 921 6;
  • 59) 0,019 116 992 921 6 × 2 = 0 + 0,038 233 985 843 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 608 9(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1011 1100 1110 1000 0001 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 608 9(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1011 1100 1110 1000 0001 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 608 9(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1011 1100 1110 1000 0001 110(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1011 1100 1110 1000 0001 110(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1101 1110 0111 0100 0000 1110(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1101 1110 0111 0100 0000 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1101 1110 0111 0100 0000 1110 =

0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1101 1110 0111 0100 0000 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1101 1110 0111 0100 0000 1110


Numărul zecimal -0,008 788 423 608 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1101 1110 0111 0100 0000 1110

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 606 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100