-0,008 788 423 612 706 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 612 706 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 612 706 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 612 706 8| = 0,008 788 423 612 706 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 612 706 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 612 706 8 × 2 = 0 + 0,017 576 847 225 413 6;
  • 2) 0,017 576 847 225 413 6 × 2 = 0 + 0,035 153 694 450 827 2;
  • 3) 0,035 153 694 450 827 2 × 2 = 0 + 0,070 307 388 901 654 4;
  • 4) 0,070 307 388 901 654 4 × 2 = 0 + 0,140 614 777 803 308 8;
  • 5) 0,140 614 777 803 308 8 × 2 = 0 + 0,281 229 555 606 617 6;
  • 6) 0,281 229 555 606 617 6 × 2 = 0 + 0,562 459 111 213 235 2;
  • 7) 0,562 459 111 213 235 2 × 2 = 1 + 0,124 918 222 426 470 4;
  • 8) 0,124 918 222 426 470 4 × 2 = 0 + 0,249 836 444 852 940 8;
  • 9) 0,249 836 444 852 940 8 × 2 = 0 + 0,499 672 889 705 881 6;
  • 10) 0,499 672 889 705 881 6 × 2 = 0 + 0,999 345 779 411 763 2;
  • 11) 0,999 345 779 411 763 2 × 2 = 1 + 0,998 691 558 823 526 4;
  • 12) 0,998 691 558 823 526 4 × 2 = 1 + 0,997 383 117 647 052 8;
  • 13) 0,997 383 117 647 052 8 × 2 = 1 + 0,994 766 235 294 105 6;
  • 14) 0,994 766 235 294 105 6 × 2 = 1 + 0,989 532 470 588 211 2;
  • 15) 0,989 532 470 588 211 2 × 2 = 1 + 0,979 064 941 176 422 4;
  • 16) 0,979 064 941 176 422 4 × 2 = 1 + 0,958 129 882 352 844 8;
  • 17) 0,958 129 882 352 844 8 × 2 = 1 + 0,916 259 764 705 689 6;
  • 18) 0,916 259 764 705 689 6 × 2 = 1 + 0,832 519 529 411 379 2;
  • 19) 0,832 519 529 411 379 2 × 2 = 1 + 0,665 039 058 822 758 4;
  • 20) 0,665 039 058 822 758 4 × 2 = 1 + 0,330 078 117 645 516 8;
  • 21) 0,330 078 117 645 516 8 × 2 = 0 + 0,660 156 235 291 033 6;
  • 22) 0,660 156 235 291 033 6 × 2 = 1 + 0,320 312 470 582 067 2;
  • 23) 0,320 312 470 582 067 2 × 2 = 0 + 0,640 624 941 164 134 4;
  • 24) 0,640 624 941 164 134 4 × 2 = 1 + 0,281 249 882 328 268 8;
  • 25) 0,281 249 882 328 268 8 × 2 = 0 + 0,562 499 764 656 537 6;
  • 26) 0,562 499 764 656 537 6 × 2 = 1 + 0,124 999 529 313 075 2;
  • 27) 0,124 999 529 313 075 2 × 2 = 0 + 0,249 999 058 626 150 4;
  • 28) 0,249 999 058 626 150 4 × 2 = 0 + 0,499 998 117 252 300 8;
  • 29) 0,499 998 117 252 300 8 × 2 = 0 + 0,999 996 234 504 601 6;
  • 30) 0,999 996 234 504 601 6 × 2 = 1 + 0,999 992 469 009 203 2;
  • 31) 0,999 992 469 009 203 2 × 2 = 1 + 0,999 984 938 018 406 4;
  • 32) 0,999 984 938 018 406 4 × 2 = 1 + 0,999 969 876 036 812 8;
  • 33) 0,999 969 876 036 812 8 × 2 = 1 + 0,999 939 752 073 625 6;
  • 34) 0,999 939 752 073 625 6 × 2 = 1 + 0,999 879 504 147 251 2;
  • 35) 0,999 879 504 147 251 2 × 2 = 1 + 0,999 759 008 294 502 4;
  • 36) 0,999 759 008 294 502 4 × 2 = 1 + 0,999 518 016 589 004 8;
  • 37) 0,999 518 016 589 004 8 × 2 = 1 + 0,999 036 033 178 009 6;
  • 38) 0,999 036 033 178 009 6 × 2 = 1 + 0,998 072 066 356 019 2;
  • 39) 0,998 072 066 356 019 2 × 2 = 1 + 0,996 144 132 712 038 4;
  • 40) 0,996 144 132 712 038 4 × 2 = 1 + 0,992 288 265 424 076 8;
  • 41) 0,992 288 265 424 076 8 × 2 = 1 + 0,984 576 530 848 153 6;
  • 42) 0,984 576 530 848 153 6 × 2 = 1 + 0,969 153 061 696 307 2;
  • 43) 0,969 153 061 696 307 2 × 2 = 1 + 0,938 306 123 392 614 4;
  • 44) 0,938 306 123 392 614 4 × 2 = 1 + 0,876 612 246 785 228 8;
  • 45) 0,876 612 246 785 228 8 × 2 = 1 + 0,753 224 493 570 457 6;
  • 46) 0,753 224 493 570 457 6 × 2 = 1 + 0,506 448 987 140 915 2;
  • 47) 0,506 448 987 140 915 2 × 2 = 1 + 0,012 897 974 281 830 4;
  • 48) 0,012 897 974 281 830 4 × 2 = 0 + 0,025 795 948 563 660 8;
  • 49) 0,025 795 948 563 660 8 × 2 = 0 + 0,051 591 897 127 321 6;
  • 50) 0,051 591 897 127 321 6 × 2 = 0 + 0,103 183 794 254 643 2;
  • 51) 0,103 183 794 254 643 2 × 2 = 0 + 0,206 367 588 509 286 4;
  • 52) 0,206 367 588 509 286 4 × 2 = 0 + 0,412 735 177 018 572 8;
  • 53) 0,412 735 177 018 572 8 × 2 = 0 + 0,825 470 354 037 145 6;
  • 54) 0,825 470 354 037 145 6 × 2 = 1 + 0,650 940 708 074 291 2;
  • 55) 0,650 940 708 074 291 2 × 2 = 1 + 0,301 881 416 148 582 4;
  • 56) 0,301 881 416 148 582 4 × 2 = 0 + 0,603 762 832 297 164 8;
  • 57) 0,603 762 832 297 164 8 × 2 = 1 + 0,207 525 664 594 329 6;
  • 58) 0,207 525 664 594 329 6 × 2 = 0 + 0,415 051 329 188 659 2;
  • 59) 0,415 051 329 188 659 2 × 2 = 0 + 0,830 102 658 377 318 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 612 706 8(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 0000 0110 100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 612 706 8(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 0000 0110 100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 612 706 8(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 0000 0110 100(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 0000 0110 100(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0000 0011 0100(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0000 0011 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0000 0011 0100 =

0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0000 0011 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0000 0011 0100


Numărul zecimal -0,008 788 423 612 706 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0000 0011 0100

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 612 706 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100