-0,008 788 423 612 71 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 612 71(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 612 71(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 612 71| = 0,008 788 423 612 71


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 612 71.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 612 71 × 2 = 0 + 0,017 576 847 225 42;
  • 2) 0,017 576 847 225 42 × 2 = 0 + 0,035 153 694 450 84;
  • 3) 0,035 153 694 450 84 × 2 = 0 + 0,070 307 388 901 68;
  • 4) 0,070 307 388 901 68 × 2 = 0 + 0,140 614 777 803 36;
  • 5) 0,140 614 777 803 36 × 2 = 0 + 0,281 229 555 606 72;
  • 6) 0,281 229 555 606 72 × 2 = 0 + 0,562 459 111 213 44;
  • 7) 0,562 459 111 213 44 × 2 = 1 + 0,124 918 222 426 88;
  • 8) 0,124 918 222 426 88 × 2 = 0 + 0,249 836 444 853 76;
  • 9) 0,249 836 444 853 76 × 2 = 0 + 0,499 672 889 707 52;
  • 10) 0,499 672 889 707 52 × 2 = 0 + 0,999 345 779 415 04;
  • 11) 0,999 345 779 415 04 × 2 = 1 + 0,998 691 558 830 08;
  • 12) 0,998 691 558 830 08 × 2 = 1 + 0,997 383 117 660 16;
  • 13) 0,997 383 117 660 16 × 2 = 1 + 0,994 766 235 320 32;
  • 14) 0,994 766 235 320 32 × 2 = 1 + 0,989 532 470 640 64;
  • 15) 0,989 532 470 640 64 × 2 = 1 + 0,979 064 941 281 28;
  • 16) 0,979 064 941 281 28 × 2 = 1 + 0,958 129 882 562 56;
  • 17) 0,958 129 882 562 56 × 2 = 1 + 0,916 259 765 125 12;
  • 18) 0,916 259 765 125 12 × 2 = 1 + 0,832 519 530 250 24;
  • 19) 0,832 519 530 250 24 × 2 = 1 + 0,665 039 060 500 48;
  • 20) 0,665 039 060 500 48 × 2 = 1 + 0,330 078 121 000 96;
  • 21) 0,330 078 121 000 96 × 2 = 0 + 0,660 156 242 001 92;
  • 22) 0,660 156 242 001 92 × 2 = 1 + 0,320 312 484 003 84;
  • 23) 0,320 312 484 003 84 × 2 = 0 + 0,640 624 968 007 68;
  • 24) 0,640 624 968 007 68 × 2 = 1 + 0,281 249 936 015 36;
  • 25) 0,281 249 936 015 36 × 2 = 0 + 0,562 499 872 030 72;
  • 26) 0,562 499 872 030 72 × 2 = 1 + 0,124 999 744 061 44;
  • 27) 0,124 999 744 061 44 × 2 = 0 + 0,249 999 488 122 88;
  • 28) 0,249 999 488 122 88 × 2 = 0 + 0,499 998 976 245 76;
  • 29) 0,499 998 976 245 76 × 2 = 0 + 0,999 997 952 491 52;
  • 30) 0,999 997 952 491 52 × 2 = 1 + 0,999 995 904 983 04;
  • 31) 0,999 995 904 983 04 × 2 = 1 + 0,999 991 809 966 08;
  • 32) 0,999 991 809 966 08 × 2 = 1 + 0,999 983 619 932 16;
  • 33) 0,999 983 619 932 16 × 2 = 1 + 0,999 967 239 864 32;
  • 34) 0,999 967 239 864 32 × 2 = 1 + 0,999 934 479 728 64;
  • 35) 0,999 934 479 728 64 × 2 = 1 + 0,999 868 959 457 28;
  • 36) 0,999 868 959 457 28 × 2 = 1 + 0,999 737 918 914 56;
  • 37) 0,999 737 918 914 56 × 2 = 1 + 0,999 475 837 829 12;
  • 38) 0,999 475 837 829 12 × 2 = 1 + 0,998 951 675 658 24;
  • 39) 0,998 951 675 658 24 × 2 = 1 + 0,997 903 351 316 48;
  • 40) 0,997 903 351 316 48 × 2 = 1 + 0,995 806 702 632 96;
  • 41) 0,995 806 702 632 96 × 2 = 1 + 0,991 613 405 265 92;
  • 42) 0,991 613 405 265 92 × 2 = 1 + 0,983 226 810 531 84;
  • 43) 0,983 226 810 531 84 × 2 = 1 + 0,966 453 621 063 68;
  • 44) 0,966 453 621 063 68 × 2 = 1 + 0,932 907 242 127 36;
  • 45) 0,932 907 242 127 36 × 2 = 1 + 0,865 814 484 254 72;
  • 46) 0,865 814 484 254 72 × 2 = 1 + 0,731 628 968 509 44;
  • 47) 0,731 628 968 509 44 × 2 = 1 + 0,463 257 937 018 88;
  • 48) 0,463 257 937 018 88 × 2 = 0 + 0,926 515 874 037 76;
  • 49) 0,926 515 874 037 76 × 2 = 1 + 0,853 031 748 075 52;
  • 50) 0,853 031 748 075 52 × 2 = 1 + 0,706 063 496 151 04;
  • 51) 0,706 063 496 151 04 × 2 = 1 + 0,412 126 992 302 08;
  • 52) 0,412 126 992 302 08 × 2 = 0 + 0,824 253 984 604 16;
  • 53) 0,824 253 984 604 16 × 2 = 1 + 0,648 507 969 208 32;
  • 54) 0,648 507 969 208 32 × 2 = 1 + 0,297 015 938 416 64;
  • 55) 0,297 015 938 416 64 × 2 = 0 + 0,594 031 876 833 28;
  • 56) 0,594 031 876 833 28 × 2 = 1 + 0,188 063 753 666 56;
  • 57) 0,188 063 753 666 56 × 2 = 0 + 0,376 127 507 333 12;
  • 58) 0,376 127 507 333 12 × 2 = 0 + 0,752 255 014 666 24;
  • 59) 0,752 255 014 666 24 × 2 = 1 + 0,504 510 029 332 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 612 71(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 1110 1101 001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 612 71(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 1110 1101 001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 612 71(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 1110 1101 001(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 1110 1101 001(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0111 0110 1001(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0111 0110 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0111 0110 1001 =

0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0111 0110 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0111 0110 1001


Numărul zecimal -0,008 788 423 612 71 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0111 0110 1001

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 613 06 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100