-0,008 788 423 612 946 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 612 946(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 612 946(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 612 946| = 0,008 788 423 612 946


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 612 946.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 612 946 × 2 = 0 + 0,017 576 847 225 892;
  • 2) 0,017 576 847 225 892 × 2 = 0 + 0,035 153 694 451 784;
  • 3) 0,035 153 694 451 784 × 2 = 0 + 0,070 307 388 903 568;
  • 4) 0,070 307 388 903 568 × 2 = 0 + 0,140 614 777 807 136;
  • 5) 0,140 614 777 807 136 × 2 = 0 + 0,281 229 555 614 272;
  • 6) 0,281 229 555 614 272 × 2 = 0 + 0,562 459 111 228 544;
  • 7) 0,562 459 111 228 544 × 2 = 1 + 0,124 918 222 457 088;
  • 8) 0,124 918 222 457 088 × 2 = 0 + 0,249 836 444 914 176;
  • 9) 0,249 836 444 914 176 × 2 = 0 + 0,499 672 889 828 352;
  • 10) 0,499 672 889 828 352 × 2 = 0 + 0,999 345 779 656 704;
  • 11) 0,999 345 779 656 704 × 2 = 1 + 0,998 691 559 313 408;
  • 12) 0,998 691 559 313 408 × 2 = 1 + 0,997 383 118 626 816;
  • 13) 0,997 383 118 626 816 × 2 = 1 + 0,994 766 237 253 632;
  • 14) 0,994 766 237 253 632 × 2 = 1 + 0,989 532 474 507 264;
  • 15) 0,989 532 474 507 264 × 2 = 1 + 0,979 064 949 014 528;
  • 16) 0,979 064 949 014 528 × 2 = 1 + 0,958 129 898 029 056;
  • 17) 0,958 129 898 029 056 × 2 = 1 + 0,916 259 796 058 112;
  • 18) 0,916 259 796 058 112 × 2 = 1 + 0,832 519 592 116 224;
  • 19) 0,832 519 592 116 224 × 2 = 1 + 0,665 039 184 232 448;
  • 20) 0,665 039 184 232 448 × 2 = 1 + 0,330 078 368 464 896;
  • 21) 0,330 078 368 464 896 × 2 = 0 + 0,660 156 736 929 792;
  • 22) 0,660 156 736 929 792 × 2 = 1 + 0,320 313 473 859 584;
  • 23) 0,320 313 473 859 584 × 2 = 0 + 0,640 626 947 719 168;
  • 24) 0,640 626 947 719 168 × 2 = 1 + 0,281 253 895 438 336;
  • 25) 0,281 253 895 438 336 × 2 = 0 + 0,562 507 790 876 672;
  • 26) 0,562 507 790 876 672 × 2 = 1 + 0,125 015 581 753 344;
  • 27) 0,125 015 581 753 344 × 2 = 0 + 0,250 031 163 506 688;
  • 28) 0,250 031 163 506 688 × 2 = 0 + 0,500 062 327 013 376;
  • 29) 0,500 062 327 013 376 × 2 = 1 + 0,000 124 654 026 752;
  • 30) 0,000 124 654 026 752 × 2 = 0 + 0,000 249 308 053 504;
  • 31) 0,000 249 308 053 504 × 2 = 0 + 0,000 498 616 107 008;
  • 32) 0,000 498 616 107 008 × 2 = 0 + 0,000 997 232 214 016;
  • 33) 0,000 997 232 214 016 × 2 = 0 + 0,001 994 464 428 032;
  • 34) 0,001 994 464 428 032 × 2 = 0 + 0,003 988 928 856 064;
  • 35) 0,003 988 928 856 064 × 2 = 0 + 0,007 977 857 712 128;
  • 36) 0,007 977 857 712 128 × 2 = 0 + 0,015 955 715 424 256;
  • 37) 0,015 955 715 424 256 × 2 = 0 + 0,031 911 430 848 512;
  • 38) 0,031 911 430 848 512 × 2 = 0 + 0,063 822 861 697 024;
  • 39) 0,063 822 861 697 024 × 2 = 0 + 0,127 645 723 394 048;
  • 40) 0,127 645 723 394 048 × 2 = 0 + 0,255 291 446 788 096;
  • 41) 0,255 291 446 788 096 × 2 = 0 + 0,510 582 893 576 192;
  • 42) 0,510 582 893 576 192 × 2 = 1 + 0,021 165 787 152 384;
  • 43) 0,021 165 787 152 384 × 2 = 0 + 0,042 331 574 304 768;
  • 44) 0,042 331 574 304 768 × 2 = 0 + 0,084 663 148 609 536;
  • 45) 0,084 663 148 609 536 × 2 = 0 + 0,169 326 297 219 072;
  • 46) 0,169 326 297 219 072 × 2 = 0 + 0,338 652 594 438 144;
  • 47) 0,338 652 594 438 144 × 2 = 0 + 0,677 305 188 876 288;
  • 48) 0,677 305 188 876 288 × 2 = 1 + 0,354 610 377 752 576;
  • 49) 0,354 610 377 752 576 × 2 = 0 + 0,709 220 755 505 152;
  • 50) 0,709 220 755 505 152 × 2 = 1 + 0,418 441 511 010 304;
  • 51) 0,418 441 511 010 304 × 2 = 0 + 0,836 883 022 020 608;
  • 52) 0,836 883 022 020 608 × 2 = 1 + 0,673 766 044 041 216;
  • 53) 0,673 766 044 041 216 × 2 = 1 + 0,347 532 088 082 432;
  • 54) 0,347 532 088 082 432 × 2 = 0 + 0,695 064 176 164 864;
  • 55) 0,695 064 176 164 864 × 2 = 1 + 0,390 128 352 329 728;
  • 56) 0,390 128 352 329 728 × 2 = 0 + 0,780 256 704 659 456;
  • 57) 0,780 256 704 659 456 × 2 = 1 + 0,560 513 409 318 912;
  • 58) 0,560 513 409 318 912 × 2 = 1 + 0,121 026 818 637 824;
  • 59) 0,121 026 818 637 824 × 2 = 0 + 0,242 053 637 275 648;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 612 946(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0000 0100 0001 0101 1010 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 612 946(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0000 0100 0001 0101 1010 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 612 946(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0000 0100 0001 0101 1010 110(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0000 0100 0001 0101 1010 110(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0010 0000 1010 1101 0110(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0010 0000 1010 1101 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0010 0000 1010 1101 0110 =

0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0010 0000 1010 1101 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0010 0000 1010 1101 0110


Numărul zecimal -0,008 788 423 612 946 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0010 0000 1010 1101 0110

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 612 963 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100