-0,008 788 423 613 35 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 613 35(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 613 35(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 613 35| = 0,008 788 423 613 35


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 613 35.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 613 35 × 2 = 0 + 0,017 576 847 226 7;
  • 2) 0,017 576 847 226 7 × 2 = 0 + 0,035 153 694 453 4;
  • 3) 0,035 153 694 453 4 × 2 = 0 + 0,070 307 388 906 8;
  • 4) 0,070 307 388 906 8 × 2 = 0 + 0,140 614 777 813 6;
  • 5) 0,140 614 777 813 6 × 2 = 0 + 0,281 229 555 627 2;
  • 6) 0,281 229 555 627 2 × 2 = 0 + 0,562 459 111 254 4;
  • 7) 0,562 459 111 254 4 × 2 = 1 + 0,124 918 222 508 8;
  • 8) 0,124 918 222 508 8 × 2 = 0 + 0,249 836 445 017 6;
  • 9) 0,249 836 445 017 6 × 2 = 0 + 0,499 672 890 035 2;
  • 10) 0,499 672 890 035 2 × 2 = 0 + 0,999 345 780 070 4;
  • 11) 0,999 345 780 070 4 × 2 = 1 + 0,998 691 560 140 8;
  • 12) 0,998 691 560 140 8 × 2 = 1 + 0,997 383 120 281 6;
  • 13) 0,997 383 120 281 6 × 2 = 1 + 0,994 766 240 563 2;
  • 14) 0,994 766 240 563 2 × 2 = 1 + 0,989 532 481 126 4;
  • 15) 0,989 532 481 126 4 × 2 = 1 + 0,979 064 962 252 8;
  • 16) 0,979 064 962 252 8 × 2 = 1 + 0,958 129 924 505 6;
  • 17) 0,958 129 924 505 6 × 2 = 1 + 0,916 259 849 011 2;
  • 18) 0,916 259 849 011 2 × 2 = 1 + 0,832 519 698 022 4;
  • 19) 0,832 519 698 022 4 × 2 = 1 + 0,665 039 396 044 8;
  • 20) 0,665 039 396 044 8 × 2 = 1 + 0,330 078 792 089 6;
  • 21) 0,330 078 792 089 6 × 2 = 0 + 0,660 157 584 179 2;
  • 22) 0,660 157 584 179 2 × 2 = 1 + 0,320 315 168 358 4;
  • 23) 0,320 315 168 358 4 × 2 = 0 + 0,640 630 336 716 8;
  • 24) 0,640 630 336 716 8 × 2 = 1 + 0,281 260 673 433 6;
  • 25) 0,281 260 673 433 6 × 2 = 0 + 0,562 521 346 867 2;
  • 26) 0,562 521 346 867 2 × 2 = 1 + 0,125 042 693 734 4;
  • 27) 0,125 042 693 734 4 × 2 = 0 + 0,250 085 387 468 8;
  • 28) 0,250 085 387 468 8 × 2 = 0 + 0,500 170 774 937 6;
  • 29) 0,500 170 774 937 6 × 2 = 1 + 0,000 341 549 875 2;
  • 30) 0,000 341 549 875 2 × 2 = 0 + 0,000 683 099 750 4;
  • 31) 0,000 683 099 750 4 × 2 = 0 + 0,001 366 199 500 8;
  • 32) 0,001 366 199 500 8 × 2 = 0 + 0,002 732 399 001 6;
  • 33) 0,002 732 399 001 6 × 2 = 0 + 0,005 464 798 003 2;
  • 34) 0,005 464 798 003 2 × 2 = 0 + 0,010 929 596 006 4;
  • 35) 0,010 929 596 006 4 × 2 = 0 + 0,021 859 192 012 8;
  • 36) 0,021 859 192 012 8 × 2 = 0 + 0,043 718 384 025 6;
  • 37) 0,043 718 384 025 6 × 2 = 0 + 0,087 436 768 051 2;
  • 38) 0,087 436 768 051 2 × 2 = 0 + 0,174 873 536 102 4;
  • 39) 0,174 873 536 102 4 × 2 = 0 + 0,349 747 072 204 8;
  • 40) 0,349 747 072 204 8 × 2 = 0 + 0,699 494 144 409 6;
  • 41) 0,699 494 144 409 6 × 2 = 1 + 0,398 988 288 819 2;
  • 42) 0,398 988 288 819 2 × 2 = 0 + 0,797 976 577 638 4;
  • 43) 0,797 976 577 638 4 × 2 = 1 + 0,595 953 155 276 8;
  • 44) 0,595 953 155 276 8 × 2 = 1 + 0,191 906 310 553 6;
  • 45) 0,191 906 310 553 6 × 2 = 0 + 0,383 812 621 107 2;
  • 46) 0,383 812 621 107 2 × 2 = 0 + 0,767 625 242 214 4;
  • 47) 0,767 625 242 214 4 × 2 = 1 + 0,535 250 484 428 8;
  • 48) 0,535 250 484 428 8 × 2 = 1 + 0,070 500 968 857 6;
  • 49) 0,070 500 968 857 6 × 2 = 0 + 0,141 001 937 715 2;
  • 50) 0,141 001 937 715 2 × 2 = 0 + 0,282 003 875 430 4;
  • 51) 0,282 003 875 430 4 × 2 = 0 + 0,564 007 750 860 8;
  • 52) 0,564 007 750 860 8 × 2 = 1 + 0,128 015 501 721 6;
  • 53) 0,128 015 501 721 6 × 2 = 0 + 0,256 031 003 443 2;
  • 54) 0,256 031 003 443 2 × 2 = 0 + 0,512 062 006 886 4;
  • 55) 0,512 062 006 886 4 × 2 = 1 + 0,024 124 013 772 8;
  • 56) 0,024 124 013 772 8 × 2 = 0 + 0,048 248 027 545 6;
  • 57) 0,048 248 027 545 6 × 2 = 0 + 0,096 496 055 091 2;
  • 58) 0,096 496 055 091 2 × 2 = 0 + 0,192 992 110 182 4;
  • 59) 0,192 992 110 182 4 × 2 = 0 + 0,385 984 220 364 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 613 35(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0000 1011 0011 0001 0010 000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 613 35(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0000 1011 0011 0001 0010 000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 613 35(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0000 1011 0011 0001 0010 000(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0000 1011 0011 0001 0010 000(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0101 1001 1000 1001 0000(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0101 1001 1000 1001 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0101 1001 1000 1001 0000 =

0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0101 1001 1000 1001 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0101 1001 1000 1001 0000


Numărul zecimal -0,008 788 423 613 35 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 0101 1001 1000 1001 0000

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 612 53 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100