-0,008 788 423 613 95 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 613 95(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 613 95(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 613 95| = 0,008 788 423 613 95


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 613 95.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 613 95 × 2 = 0 + 0,017 576 847 227 9;
  • 2) 0,017 576 847 227 9 × 2 = 0 + 0,035 153 694 455 8;
  • 3) 0,035 153 694 455 8 × 2 = 0 + 0,070 307 388 911 6;
  • 4) 0,070 307 388 911 6 × 2 = 0 + 0,140 614 777 823 2;
  • 5) 0,140 614 777 823 2 × 2 = 0 + 0,281 229 555 646 4;
  • 6) 0,281 229 555 646 4 × 2 = 0 + 0,562 459 111 292 8;
  • 7) 0,562 459 111 292 8 × 2 = 1 + 0,124 918 222 585 6;
  • 8) 0,124 918 222 585 6 × 2 = 0 + 0,249 836 445 171 2;
  • 9) 0,249 836 445 171 2 × 2 = 0 + 0,499 672 890 342 4;
  • 10) 0,499 672 890 342 4 × 2 = 0 + 0,999 345 780 684 8;
  • 11) 0,999 345 780 684 8 × 2 = 1 + 0,998 691 561 369 6;
  • 12) 0,998 691 561 369 6 × 2 = 1 + 0,997 383 122 739 2;
  • 13) 0,997 383 122 739 2 × 2 = 1 + 0,994 766 245 478 4;
  • 14) 0,994 766 245 478 4 × 2 = 1 + 0,989 532 490 956 8;
  • 15) 0,989 532 490 956 8 × 2 = 1 + 0,979 064 981 913 6;
  • 16) 0,979 064 981 913 6 × 2 = 1 + 0,958 129 963 827 2;
  • 17) 0,958 129 963 827 2 × 2 = 1 + 0,916 259 927 654 4;
  • 18) 0,916 259 927 654 4 × 2 = 1 + 0,832 519 855 308 8;
  • 19) 0,832 519 855 308 8 × 2 = 1 + 0,665 039 710 617 6;
  • 20) 0,665 039 710 617 6 × 2 = 1 + 0,330 079 421 235 2;
  • 21) 0,330 079 421 235 2 × 2 = 0 + 0,660 158 842 470 4;
  • 22) 0,660 158 842 470 4 × 2 = 1 + 0,320 317 684 940 8;
  • 23) 0,320 317 684 940 8 × 2 = 0 + 0,640 635 369 881 6;
  • 24) 0,640 635 369 881 6 × 2 = 1 + 0,281 270 739 763 2;
  • 25) 0,281 270 739 763 2 × 2 = 0 + 0,562 541 479 526 4;
  • 26) 0,562 541 479 526 4 × 2 = 1 + 0,125 082 959 052 8;
  • 27) 0,125 082 959 052 8 × 2 = 0 + 0,250 165 918 105 6;
  • 28) 0,250 165 918 105 6 × 2 = 0 + 0,500 331 836 211 2;
  • 29) 0,500 331 836 211 2 × 2 = 1 + 0,000 663 672 422 4;
  • 30) 0,000 663 672 422 4 × 2 = 0 + 0,001 327 344 844 8;
  • 31) 0,001 327 344 844 8 × 2 = 0 + 0,002 654 689 689 6;
  • 32) 0,002 654 689 689 6 × 2 = 0 + 0,005 309 379 379 2;
  • 33) 0,005 309 379 379 2 × 2 = 0 + 0,010 618 758 758 4;
  • 34) 0,010 618 758 758 4 × 2 = 0 + 0,021 237 517 516 8;
  • 35) 0,021 237 517 516 8 × 2 = 0 + 0,042 475 035 033 6;
  • 36) 0,042 475 035 033 6 × 2 = 0 + 0,084 950 070 067 2;
  • 37) 0,084 950 070 067 2 × 2 = 0 + 0,169 900 140 134 4;
  • 38) 0,169 900 140 134 4 × 2 = 0 + 0,339 800 280 268 8;
  • 39) 0,339 800 280 268 8 × 2 = 0 + 0,679 600 560 537 6;
  • 40) 0,679 600 560 537 6 × 2 = 1 + 0,359 201 121 075 2;
  • 41) 0,359 201 121 075 2 × 2 = 0 + 0,718 402 242 150 4;
  • 42) 0,718 402 242 150 4 × 2 = 1 + 0,436 804 484 300 8;
  • 43) 0,436 804 484 300 8 × 2 = 0 + 0,873 608 968 601 6;
  • 44) 0,873 608 968 601 6 × 2 = 1 + 0,747 217 937 203 2;
  • 45) 0,747 217 937 203 2 × 2 = 1 + 0,494 435 874 406 4;
  • 46) 0,494 435 874 406 4 × 2 = 0 + 0,988 871 748 812 8;
  • 47) 0,988 871 748 812 8 × 2 = 1 + 0,977 743 497 625 6;
  • 48) 0,977 743 497 625 6 × 2 = 1 + 0,955 486 995 251 2;
  • 49) 0,955 486 995 251 2 × 2 = 1 + 0,910 973 990 502 4;
  • 50) 0,910 973 990 502 4 × 2 = 1 + 0,821 947 981 004 8;
  • 51) 0,821 947 981 004 8 × 2 = 1 + 0,643 895 962 009 6;
  • 52) 0,643 895 962 009 6 × 2 = 1 + 0,287 791 924 019 2;
  • 53) 0,287 791 924 019 2 × 2 = 0 + 0,575 583 848 038 4;
  • 54) 0,575 583 848 038 4 × 2 = 1 + 0,151 167 696 076 8;
  • 55) 0,151 167 696 076 8 × 2 = 0 + 0,302 335 392 153 6;
  • 56) 0,302 335 392 153 6 × 2 = 0 + 0,604 670 784 307 2;
  • 57) 0,604 670 784 307 2 × 2 = 1 + 0,209 341 568 614 4;
  • 58) 0,209 341 568 614 4 × 2 = 0 + 0,418 683 137 228 8;
  • 59) 0,418 683 137 228 8 × 2 = 0 + 0,837 366 274 457 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 613 95(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 0101 1011 1111 0100 100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 613 95(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 0101 1011 1111 0100 100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 613 95(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 0101 1011 1111 0100 100(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 0101 1011 1111 0100 100(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1010 1101 1111 1010 0100(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1010 1101 1111 1010 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1010 1101 1111 1010 0100 =

0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1010 1101 1111 1010 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1010 1101 1111 1010 0100


Numărul zecimal -0,008 788 423 613 95 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1010 1101 1111 1010 0100

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 614 74 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100