-0,008 788 423 614 46 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 614 46(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 614 46(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 614 46| = 0,008 788 423 614 46


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 614 46.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 614 46 × 2 = 0 + 0,017 576 847 228 92;
  • 2) 0,017 576 847 228 92 × 2 = 0 + 0,035 153 694 457 84;
  • 3) 0,035 153 694 457 84 × 2 = 0 + 0,070 307 388 915 68;
  • 4) 0,070 307 388 915 68 × 2 = 0 + 0,140 614 777 831 36;
  • 5) 0,140 614 777 831 36 × 2 = 0 + 0,281 229 555 662 72;
  • 6) 0,281 229 555 662 72 × 2 = 0 + 0,562 459 111 325 44;
  • 7) 0,562 459 111 325 44 × 2 = 1 + 0,124 918 222 650 88;
  • 8) 0,124 918 222 650 88 × 2 = 0 + 0,249 836 445 301 76;
  • 9) 0,249 836 445 301 76 × 2 = 0 + 0,499 672 890 603 52;
  • 10) 0,499 672 890 603 52 × 2 = 0 + 0,999 345 781 207 04;
  • 11) 0,999 345 781 207 04 × 2 = 1 + 0,998 691 562 414 08;
  • 12) 0,998 691 562 414 08 × 2 = 1 + 0,997 383 124 828 16;
  • 13) 0,997 383 124 828 16 × 2 = 1 + 0,994 766 249 656 32;
  • 14) 0,994 766 249 656 32 × 2 = 1 + 0,989 532 499 312 64;
  • 15) 0,989 532 499 312 64 × 2 = 1 + 0,979 064 998 625 28;
  • 16) 0,979 064 998 625 28 × 2 = 1 + 0,958 129 997 250 56;
  • 17) 0,958 129 997 250 56 × 2 = 1 + 0,916 259 994 501 12;
  • 18) 0,916 259 994 501 12 × 2 = 1 + 0,832 519 989 002 24;
  • 19) 0,832 519 989 002 24 × 2 = 1 + 0,665 039 978 004 48;
  • 20) 0,665 039 978 004 48 × 2 = 1 + 0,330 079 956 008 96;
  • 21) 0,330 079 956 008 96 × 2 = 0 + 0,660 159 912 017 92;
  • 22) 0,660 159 912 017 92 × 2 = 1 + 0,320 319 824 035 84;
  • 23) 0,320 319 824 035 84 × 2 = 0 + 0,640 639 648 071 68;
  • 24) 0,640 639 648 071 68 × 2 = 1 + 0,281 279 296 143 36;
  • 25) 0,281 279 296 143 36 × 2 = 0 + 0,562 558 592 286 72;
  • 26) 0,562 558 592 286 72 × 2 = 1 + 0,125 117 184 573 44;
  • 27) 0,125 117 184 573 44 × 2 = 0 + 0,250 234 369 146 88;
  • 28) 0,250 234 369 146 88 × 2 = 0 + 0,500 468 738 293 76;
  • 29) 0,500 468 738 293 76 × 2 = 1 + 0,000 937 476 587 52;
  • 30) 0,000 937 476 587 52 × 2 = 0 + 0,001 874 953 175 04;
  • 31) 0,001 874 953 175 04 × 2 = 0 + 0,003 749 906 350 08;
  • 32) 0,003 749 906 350 08 × 2 = 0 + 0,007 499 812 700 16;
  • 33) 0,007 499 812 700 16 × 2 = 0 + 0,014 999 625 400 32;
  • 34) 0,014 999 625 400 32 × 2 = 0 + 0,029 999 250 800 64;
  • 35) 0,029 999 250 800 64 × 2 = 0 + 0,059 998 501 601 28;
  • 36) 0,059 998 501 601 28 × 2 = 0 + 0,119 997 003 202 56;
  • 37) 0,119 997 003 202 56 × 2 = 0 + 0,239 994 006 405 12;
  • 38) 0,239 994 006 405 12 × 2 = 0 + 0,479 988 012 810 24;
  • 39) 0,479 988 012 810 24 × 2 = 0 + 0,959 976 025 620 48;
  • 40) 0,959 976 025 620 48 × 2 = 1 + 0,919 952 051 240 96;
  • 41) 0,919 952 051 240 96 × 2 = 1 + 0,839 904 102 481 92;
  • 42) 0,839 904 102 481 92 × 2 = 1 + 0,679 808 204 963 84;
  • 43) 0,679 808 204 963 84 × 2 = 1 + 0,359 616 409 927 68;
  • 44) 0,359 616 409 927 68 × 2 = 0 + 0,719 232 819 855 36;
  • 45) 0,719 232 819 855 36 × 2 = 1 + 0,438 465 639 710 72;
  • 46) 0,438 465 639 710 72 × 2 = 0 + 0,876 931 279 421 44;
  • 47) 0,876 931 279 421 44 × 2 = 1 + 0,753 862 558 842 88;
  • 48) 0,753 862 558 842 88 × 2 = 1 + 0,507 725 117 685 76;
  • 49) 0,507 725 117 685 76 × 2 = 1 + 0,015 450 235 371 52;
  • 50) 0,015 450 235 371 52 × 2 = 0 + 0,030 900 470 743 04;
  • 51) 0,030 900 470 743 04 × 2 = 0 + 0,061 800 941 486 08;
  • 52) 0,061 800 941 486 08 × 2 = 0 + 0,123 601 882 972 16;
  • 53) 0,123 601 882 972 16 × 2 = 0 + 0,247 203 765 944 32;
  • 54) 0,247 203 765 944 32 × 2 = 0 + 0,494 407 531 888 64;
  • 55) 0,494 407 531 888 64 × 2 = 0 + 0,988 815 063 777 28;
  • 56) 0,988 815 063 777 28 × 2 = 1 + 0,977 630 127 554 56;
  • 57) 0,977 630 127 554 56 × 2 = 1 + 0,955 260 255 109 12;
  • 58) 0,955 260 255 109 12 × 2 = 1 + 0,910 520 510 218 24;
  • 59) 0,910 520 510 218 24 × 2 = 1 + 0,821 041 020 436 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 614 46(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 1110 1011 1000 0001 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 614 46(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 1110 1011 1000 0001 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 614 46(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 1110 1011 1000 0001 111(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 1110 1011 1000 0001 111(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0101 1100 0000 1111(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0101 1100 0000 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0101 1100 0000 1111 =

0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0101 1100 0000 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0101 1100 0000 1111


Numărul zecimal -0,008 788 423 614 46 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0101 1100 0000 1111

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 615 15 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100