-0,008 788 423 614 47 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 614 47(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 614 47(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 614 47| = 0,008 788 423 614 47


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 614 47.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 614 47 × 2 = 0 + 0,017 576 847 228 94;
  • 2) 0,017 576 847 228 94 × 2 = 0 + 0,035 153 694 457 88;
  • 3) 0,035 153 694 457 88 × 2 = 0 + 0,070 307 388 915 76;
  • 4) 0,070 307 388 915 76 × 2 = 0 + 0,140 614 777 831 52;
  • 5) 0,140 614 777 831 52 × 2 = 0 + 0,281 229 555 663 04;
  • 6) 0,281 229 555 663 04 × 2 = 0 + 0,562 459 111 326 08;
  • 7) 0,562 459 111 326 08 × 2 = 1 + 0,124 918 222 652 16;
  • 8) 0,124 918 222 652 16 × 2 = 0 + 0,249 836 445 304 32;
  • 9) 0,249 836 445 304 32 × 2 = 0 + 0,499 672 890 608 64;
  • 10) 0,499 672 890 608 64 × 2 = 0 + 0,999 345 781 217 28;
  • 11) 0,999 345 781 217 28 × 2 = 1 + 0,998 691 562 434 56;
  • 12) 0,998 691 562 434 56 × 2 = 1 + 0,997 383 124 869 12;
  • 13) 0,997 383 124 869 12 × 2 = 1 + 0,994 766 249 738 24;
  • 14) 0,994 766 249 738 24 × 2 = 1 + 0,989 532 499 476 48;
  • 15) 0,989 532 499 476 48 × 2 = 1 + 0,979 064 998 952 96;
  • 16) 0,979 064 998 952 96 × 2 = 1 + 0,958 129 997 905 92;
  • 17) 0,958 129 997 905 92 × 2 = 1 + 0,916 259 995 811 84;
  • 18) 0,916 259 995 811 84 × 2 = 1 + 0,832 519 991 623 68;
  • 19) 0,832 519 991 623 68 × 2 = 1 + 0,665 039 983 247 36;
  • 20) 0,665 039 983 247 36 × 2 = 1 + 0,330 079 966 494 72;
  • 21) 0,330 079 966 494 72 × 2 = 0 + 0,660 159 932 989 44;
  • 22) 0,660 159 932 989 44 × 2 = 1 + 0,320 319 865 978 88;
  • 23) 0,320 319 865 978 88 × 2 = 0 + 0,640 639 731 957 76;
  • 24) 0,640 639 731 957 76 × 2 = 1 + 0,281 279 463 915 52;
  • 25) 0,281 279 463 915 52 × 2 = 0 + 0,562 558 927 831 04;
  • 26) 0,562 558 927 831 04 × 2 = 1 + 0,125 117 855 662 08;
  • 27) 0,125 117 855 662 08 × 2 = 0 + 0,250 235 711 324 16;
  • 28) 0,250 235 711 324 16 × 2 = 0 + 0,500 471 422 648 32;
  • 29) 0,500 471 422 648 32 × 2 = 1 + 0,000 942 845 296 64;
  • 30) 0,000 942 845 296 64 × 2 = 0 + 0,001 885 690 593 28;
  • 31) 0,001 885 690 593 28 × 2 = 0 + 0,003 771 381 186 56;
  • 32) 0,003 771 381 186 56 × 2 = 0 + 0,007 542 762 373 12;
  • 33) 0,007 542 762 373 12 × 2 = 0 + 0,015 085 524 746 24;
  • 34) 0,015 085 524 746 24 × 2 = 0 + 0,030 171 049 492 48;
  • 35) 0,030 171 049 492 48 × 2 = 0 + 0,060 342 098 984 96;
  • 36) 0,060 342 098 984 96 × 2 = 0 + 0,120 684 197 969 92;
  • 37) 0,120 684 197 969 92 × 2 = 0 + 0,241 368 395 939 84;
  • 38) 0,241 368 395 939 84 × 2 = 0 + 0,482 736 791 879 68;
  • 39) 0,482 736 791 879 68 × 2 = 0 + 0,965 473 583 759 36;
  • 40) 0,965 473 583 759 36 × 2 = 1 + 0,930 947 167 518 72;
  • 41) 0,930 947 167 518 72 × 2 = 1 + 0,861 894 335 037 44;
  • 42) 0,861 894 335 037 44 × 2 = 1 + 0,723 788 670 074 88;
  • 43) 0,723 788 670 074 88 × 2 = 1 + 0,447 577 340 149 76;
  • 44) 0,447 577 340 149 76 × 2 = 0 + 0,895 154 680 299 52;
  • 45) 0,895 154 680 299 52 × 2 = 1 + 0,790 309 360 599 04;
  • 46) 0,790 309 360 599 04 × 2 = 1 + 0,580 618 721 198 08;
  • 47) 0,580 618 721 198 08 × 2 = 1 + 0,161 237 442 396 16;
  • 48) 0,161 237 442 396 16 × 2 = 0 + 0,322 474 884 792 32;
  • 49) 0,322 474 884 792 32 × 2 = 0 + 0,644 949 769 584 64;
  • 50) 0,644 949 769 584 64 × 2 = 1 + 0,289 899 539 169 28;
  • 51) 0,289 899 539 169 28 × 2 = 0 + 0,579 799 078 338 56;
  • 52) 0,579 799 078 338 56 × 2 = 1 + 0,159 598 156 677 12;
  • 53) 0,159 598 156 677 12 × 2 = 0 + 0,319 196 313 354 24;
  • 54) 0,319 196 313 354 24 × 2 = 0 + 0,638 392 626 708 48;
  • 55) 0,638 392 626 708 48 × 2 = 1 + 0,276 785 253 416 96;
  • 56) 0,276 785 253 416 96 × 2 = 0 + 0,553 570 506 833 92;
  • 57) 0,553 570 506 833 92 × 2 = 1 + 0,107 141 013 667 84;
  • 58) 0,107 141 013 667 84 × 2 = 0 + 0,214 282 027 335 68;
  • 59) 0,214 282 027 335 68 × 2 = 0 + 0,428 564 054 671 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 614 47(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 1110 1110 0101 0010 100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 614 47(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 1110 1110 0101 0010 100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 614 47(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 1110 1110 0101 0010 100(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 1110 1110 0101 0010 100(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0111 0010 1001 0100(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0111 0010 1001 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0111 0010 1001 0100 =

0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0111 0010 1001 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0111 0010 1001 0100


Numărul zecimal -0,008 788 423 614 47 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1111 0111 0010 1001 0100

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 614 27 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100