-0,008 788 423 614 84 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 614 84(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 614 84(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 614 84| = 0,008 788 423 614 84


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 614 84.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 614 84 × 2 = 0 + 0,017 576 847 229 68;
  • 2) 0,017 576 847 229 68 × 2 = 0 + 0,035 153 694 459 36;
  • 3) 0,035 153 694 459 36 × 2 = 0 + 0,070 307 388 918 72;
  • 4) 0,070 307 388 918 72 × 2 = 0 + 0,140 614 777 837 44;
  • 5) 0,140 614 777 837 44 × 2 = 0 + 0,281 229 555 674 88;
  • 6) 0,281 229 555 674 88 × 2 = 0 + 0,562 459 111 349 76;
  • 7) 0,562 459 111 349 76 × 2 = 1 + 0,124 918 222 699 52;
  • 8) 0,124 918 222 699 52 × 2 = 0 + 0,249 836 445 399 04;
  • 9) 0,249 836 445 399 04 × 2 = 0 + 0,499 672 890 798 08;
  • 10) 0,499 672 890 798 08 × 2 = 0 + 0,999 345 781 596 16;
  • 11) 0,999 345 781 596 16 × 2 = 1 + 0,998 691 563 192 32;
  • 12) 0,998 691 563 192 32 × 2 = 1 + 0,997 383 126 384 64;
  • 13) 0,997 383 126 384 64 × 2 = 1 + 0,994 766 252 769 28;
  • 14) 0,994 766 252 769 28 × 2 = 1 + 0,989 532 505 538 56;
  • 15) 0,989 532 505 538 56 × 2 = 1 + 0,979 065 011 077 12;
  • 16) 0,979 065 011 077 12 × 2 = 1 + 0,958 130 022 154 24;
  • 17) 0,958 130 022 154 24 × 2 = 1 + 0,916 260 044 308 48;
  • 18) 0,916 260 044 308 48 × 2 = 1 + 0,832 520 088 616 96;
  • 19) 0,832 520 088 616 96 × 2 = 1 + 0,665 040 177 233 92;
  • 20) 0,665 040 177 233 92 × 2 = 1 + 0,330 080 354 467 84;
  • 21) 0,330 080 354 467 84 × 2 = 0 + 0,660 160 708 935 68;
  • 22) 0,660 160 708 935 68 × 2 = 1 + 0,320 321 417 871 36;
  • 23) 0,320 321 417 871 36 × 2 = 0 + 0,640 642 835 742 72;
  • 24) 0,640 642 835 742 72 × 2 = 1 + 0,281 285 671 485 44;
  • 25) 0,281 285 671 485 44 × 2 = 0 + 0,562 571 342 970 88;
  • 26) 0,562 571 342 970 88 × 2 = 1 + 0,125 142 685 941 76;
  • 27) 0,125 142 685 941 76 × 2 = 0 + 0,250 285 371 883 52;
  • 28) 0,250 285 371 883 52 × 2 = 0 + 0,500 570 743 767 04;
  • 29) 0,500 570 743 767 04 × 2 = 1 + 0,001 141 487 534 08;
  • 30) 0,001 141 487 534 08 × 2 = 0 + 0,002 282 975 068 16;
  • 31) 0,002 282 975 068 16 × 2 = 0 + 0,004 565 950 136 32;
  • 32) 0,004 565 950 136 32 × 2 = 0 + 0,009 131 900 272 64;
  • 33) 0,009 131 900 272 64 × 2 = 0 + 0,018 263 800 545 28;
  • 34) 0,018 263 800 545 28 × 2 = 0 + 0,036 527 601 090 56;
  • 35) 0,036 527 601 090 56 × 2 = 0 + 0,073 055 202 181 12;
  • 36) 0,073 055 202 181 12 × 2 = 0 + 0,146 110 404 362 24;
  • 37) 0,146 110 404 362 24 × 2 = 0 + 0,292 220 808 724 48;
  • 38) 0,292 220 808 724 48 × 2 = 0 + 0,584 441 617 448 96;
  • 39) 0,584 441 617 448 96 × 2 = 1 + 0,168 883 234 897 92;
  • 40) 0,168 883 234 897 92 × 2 = 0 + 0,337 766 469 795 84;
  • 41) 0,337 766 469 795 84 × 2 = 0 + 0,675 532 939 591 68;
  • 42) 0,675 532 939 591 68 × 2 = 1 + 0,351 065 879 183 36;
  • 43) 0,351 065 879 183 36 × 2 = 0 + 0,702 131 758 366 72;
  • 44) 0,702 131 758 366 72 × 2 = 1 + 0,404 263 516 733 44;
  • 45) 0,404 263 516 733 44 × 2 = 0 + 0,808 527 033 466 88;
  • 46) 0,808 527 033 466 88 × 2 = 1 + 0,617 054 066 933 76;
  • 47) 0,617 054 066 933 76 × 2 = 1 + 0,234 108 133 867 52;
  • 48) 0,234 108 133 867 52 × 2 = 0 + 0,468 216 267 735 04;
  • 49) 0,468 216 267 735 04 × 2 = 0 + 0,936 432 535 470 08;
  • 50) 0,936 432 535 470 08 × 2 = 1 + 0,872 865 070 940 16;
  • 51) 0,872 865 070 940 16 × 2 = 1 + 0,745 730 141 880 32;
  • 52) 0,745 730 141 880 32 × 2 = 1 + 0,491 460 283 760 64;
  • 53) 0,491 460 283 760 64 × 2 = 0 + 0,982 920 567 521 28;
  • 54) 0,982 920 567 521 28 × 2 = 1 + 0,965 841 135 042 56;
  • 55) 0,965 841 135 042 56 × 2 = 1 + 0,931 682 270 085 12;
  • 56) 0,931 682 270 085 12 × 2 = 1 + 0,863 364 540 170 24;
  • 57) 0,863 364 540 170 24 × 2 = 1 + 0,726 729 080 340 48;
  • 58) 0,726 729 080 340 48 × 2 = 1 + 0,453 458 160 680 96;
  • 59) 0,453 458 160 680 96 × 2 = 0 + 0,906 916 321 361 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 614 84(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0010 0101 0110 0111 0111 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 614 84(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0010 0101 0110 0111 0111 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 614 84(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0010 0101 0110 0111 0111 110(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0010 0101 0110 0111 0111 110(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0010 1011 0011 1011 1110(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0010 1011 0011 1011 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0010 1011 0011 1011 1110 =

0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0010 1011 0011 1011 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0010 1011 0011 1011 1110


Numărul zecimal -0,008 788 423 614 84 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0010 1011 0011 1011 1110

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 614 77 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100