-0,008 788 423 615 01 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 615 01(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 615 01(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 615 01| = 0,008 788 423 615 01


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 615 01.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 615 01 × 2 = 0 + 0,017 576 847 230 02;
  • 2) 0,017 576 847 230 02 × 2 = 0 + 0,035 153 694 460 04;
  • 3) 0,035 153 694 460 04 × 2 = 0 + 0,070 307 388 920 08;
  • 4) 0,070 307 388 920 08 × 2 = 0 + 0,140 614 777 840 16;
  • 5) 0,140 614 777 840 16 × 2 = 0 + 0,281 229 555 680 32;
  • 6) 0,281 229 555 680 32 × 2 = 0 + 0,562 459 111 360 64;
  • 7) 0,562 459 111 360 64 × 2 = 1 + 0,124 918 222 721 28;
  • 8) 0,124 918 222 721 28 × 2 = 0 + 0,249 836 445 442 56;
  • 9) 0,249 836 445 442 56 × 2 = 0 + 0,499 672 890 885 12;
  • 10) 0,499 672 890 885 12 × 2 = 0 + 0,999 345 781 770 24;
  • 11) 0,999 345 781 770 24 × 2 = 1 + 0,998 691 563 540 48;
  • 12) 0,998 691 563 540 48 × 2 = 1 + 0,997 383 127 080 96;
  • 13) 0,997 383 127 080 96 × 2 = 1 + 0,994 766 254 161 92;
  • 14) 0,994 766 254 161 92 × 2 = 1 + 0,989 532 508 323 84;
  • 15) 0,989 532 508 323 84 × 2 = 1 + 0,979 065 016 647 68;
  • 16) 0,979 065 016 647 68 × 2 = 1 + 0,958 130 033 295 36;
  • 17) 0,958 130 033 295 36 × 2 = 1 + 0,916 260 066 590 72;
  • 18) 0,916 260 066 590 72 × 2 = 1 + 0,832 520 133 181 44;
  • 19) 0,832 520 133 181 44 × 2 = 1 + 0,665 040 266 362 88;
  • 20) 0,665 040 266 362 88 × 2 = 1 + 0,330 080 532 725 76;
  • 21) 0,330 080 532 725 76 × 2 = 0 + 0,660 161 065 451 52;
  • 22) 0,660 161 065 451 52 × 2 = 1 + 0,320 322 130 903 04;
  • 23) 0,320 322 130 903 04 × 2 = 0 + 0,640 644 261 806 08;
  • 24) 0,640 644 261 806 08 × 2 = 1 + 0,281 288 523 612 16;
  • 25) 0,281 288 523 612 16 × 2 = 0 + 0,562 577 047 224 32;
  • 26) 0,562 577 047 224 32 × 2 = 1 + 0,125 154 094 448 64;
  • 27) 0,125 154 094 448 64 × 2 = 0 + 0,250 308 188 897 28;
  • 28) 0,250 308 188 897 28 × 2 = 0 + 0,500 616 377 794 56;
  • 29) 0,500 616 377 794 56 × 2 = 1 + 0,001 232 755 589 12;
  • 30) 0,001 232 755 589 12 × 2 = 0 + 0,002 465 511 178 24;
  • 31) 0,002 465 511 178 24 × 2 = 0 + 0,004 931 022 356 48;
  • 32) 0,004 931 022 356 48 × 2 = 0 + 0,009 862 044 712 96;
  • 33) 0,009 862 044 712 96 × 2 = 0 + 0,019 724 089 425 92;
  • 34) 0,019 724 089 425 92 × 2 = 0 + 0,039 448 178 851 84;
  • 35) 0,039 448 178 851 84 × 2 = 0 + 0,078 896 357 703 68;
  • 36) 0,078 896 357 703 68 × 2 = 0 + 0,157 792 715 407 36;
  • 37) 0,157 792 715 407 36 × 2 = 0 + 0,315 585 430 814 72;
  • 38) 0,315 585 430 814 72 × 2 = 0 + 0,631 170 861 629 44;
  • 39) 0,631 170 861 629 44 × 2 = 1 + 0,262 341 723 258 88;
  • 40) 0,262 341 723 258 88 × 2 = 0 + 0,524 683 446 517 76;
  • 41) 0,524 683 446 517 76 × 2 = 1 + 0,049 366 893 035 52;
  • 42) 0,049 366 893 035 52 × 2 = 0 + 0,098 733 786 071 04;
  • 43) 0,098 733 786 071 04 × 2 = 0 + 0,197 467 572 142 08;
  • 44) 0,197 467 572 142 08 × 2 = 0 + 0,394 935 144 284 16;
  • 45) 0,394 935 144 284 16 × 2 = 0 + 0,789 870 288 568 32;
  • 46) 0,789 870 288 568 32 × 2 = 1 + 0,579 740 577 136 64;
  • 47) 0,579 740 577 136 64 × 2 = 1 + 0,159 481 154 273 28;
  • 48) 0,159 481 154 273 28 × 2 = 0 + 0,318 962 308 546 56;
  • 49) 0,318 962 308 546 56 × 2 = 0 + 0,637 924 617 093 12;
  • 50) 0,637 924 617 093 12 × 2 = 1 + 0,275 849 234 186 24;
  • 51) 0,275 849 234 186 24 × 2 = 0 + 0,551 698 468 372 48;
  • 52) 0,551 698 468 372 48 × 2 = 1 + 0,103 396 936 744 96;
  • 53) 0,103 396 936 744 96 × 2 = 0 + 0,206 793 873 489 92;
  • 54) 0,206 793 873 489 92 × 2 = 0 + 0,413 587 746 979 84;
  • 55) 0,413 587 746 979 84 × 2 = 0 + 0,827 175 493 959 68;
  • 56) 0,827 175 493 959 68 × 2 = 1 + 0,654 350 987 919 36;
  • 57) 0,654 350 987 919 36 × 2 = 1 + 0,308 701 975 838 72;
  • 58) 0,308 701 975 838 72 × 2 = 0 + 0,617 403 951 677 44;
  • 59) 0,617 403 951 677 44 × 2 = 1 + 0,234 807 903 354 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 615 01(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0010 1000 0110 0101 0001 101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 615 01(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0010 1000 0110 0101 0001 101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 615 01(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0010 1000 0110 0101 0001 101(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0010 1000 0110 0101 0001 101(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0100 0011 0010 1000 1101(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0100 0011 0010 1000 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0100 0011 0010 1000 1101 =

0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0100 0011 0010 1000 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0100 0011 0010 1000 1101


Numărul zecimal -0,008 788 423 615 01 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0001 0100 0011 0010 1000 1101

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 614 66 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100