-0,014 657 795 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,014 657 795 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,014 657 795 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,014 657 795 7| = 0,014 657 795 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,014 657 795 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,014 657 795 7 × 2 = 0 + 0,029 315 591 4;
  • 2) 0,029 315 591 4 × 2 = 0 + 0,058 631 182 8;
  • 3) 0,058 631 182 8 × 2 = 0 + 0,117 262 365 6;
  • 4) 0,117 262 365 6 × 2 = 0 + 0,234 524 731 2;
  • 5) 0,234 524 731 2 × 2 = 0 + 0,469 049 462 4;
  • 6) 0,469 049 462 4 × 2 = 0 + 0,938 098 924 8;
  • 7) 0,938 098 924 8 × 2 = 1 + 0,876 197 849 6;
  • 8) 0,876 197 849 6 × 2 = 1 + 0,752 395 699 2;
  • 9) 0,752 395 699 2 × 2 = 1 + 0,504 791 398 4;
  • 10) 0,504 791 398 4 × 2 = 1 + 0,009 582 796 8;
  • 11) 0,009 582 796 8 × 2 = 0 + 0,019 165 593 6;
  • 12) 0,019 165 593 6 × 2 = 0 + 0,038 331 187 2;
  • 13) 0,038 331 187 2 × 2 = 0 + 0,076 662 374 4;
  • 14) 0,076 662 374 4 × 2 = 0 + 0,153 324 748 8;
  • 15) 0,153 324 748 8 × 2 = 0 + 0,306 649 497 6;
  • 16) 0,306 649 497 6 × 2 = 0 + 0,613 298 995 2;
  • 17) 0,613 298 995 2 × 2 = 1 + 0,226 597 990 4;
  • 18) 0,226 597 990 4 × 2 = 0 + 0,453 195 980 8;
  • 19) 0,453 195 980 8 × 2 = 0 + 0,906 391 961 6;
  • 20) 0,906 391 961 6 × 2 = 1 + 0,812 783 923 2;
  • 21) 0,812 783 923 2 × 2 = 1 + 0,625 567 846 4;
  • 22) 0,625 567 846 4 × 2 = 1 + 0,251 135 692 8;
  • 23) 0,251 135 692 8 × 2 = 0 + 0,502 271 385 6;
  • 24) 0,502 271 385 6 × 2 = 1 + 0,004 542 771 2;
  • 25) 0,004 542 771 2 × 2 = 0 + 0,009 085 542 4;
  • 26) 0,009 085 542 4 × 2 = 0 + 0,018 171 084 8;
  • 27) 0,018 171 084 8 × 2 = 0 + 0,036 342 169 6;
  • 28) 0,036 342 169 6 × 2 = 0 + 0,072 684 339 2;
  • 29) 0,072 684 339 2 × 2 = 0 + 0,145 368 678 4;
  • 30) 0,145 368 678 4 × 2 = 0 + 0,290 737 356 8;
  • 31) 0,290 737 356 8 × 2 = 0 + 0,581 474 713 6;
  • 32) 0,581 474 713 6 × 2 = 1 + 0,162 949 427 2;
  • 33) 0,162 949 427 2 × 2 = 0 + 0,325 898 854 4;
  • 34) 0,325 898 854 4 × 2 = 0 + 0,651 797 708 8;
  • 35) 0,651 797 708 8 × 2 = 1 + 0,303 595 417 6;
  • 36) 0,303 595 417 6 × 2 = 0 + 0,607 190 835 2;
  • 37) 0,607 190 835 2 × 2 = 1 + 0,214 381 670 4;
  • 38) 0,214 381 670 4 × 2 = 0 + 0,428 763 340 8;
  • 39) 0,428 763 340 8 × 2 = 0 + 0,857 526 681 6;
  • 40) 0,857 526 681 6 × 2 = 1 + 0,715 053 363 2;
  • 41) 0,715 053 363 2 × 2 = 1 + 0,430 106 726 4;
  • 42) 0,430 106 726 4 × 2 = 0 + 0,860 213 452 8;
  • 43) 0,860 213 452 8 × 2 = 1 + 0,720 426 905 6;
  • 44) 0,720 426 905 6 × 2 = 1 + 0,440 853 811 2;
  • 45) 0,440 853 811 2 × 2 = 0 + 0,881 707 622 4;
  • 46) 0,881 707 622 4 × 2 = 1 + 0,763 415 244 8;
  • 47) 0,763 415 244 8 × 2 = 1 + 0,526 830 489 6;
  • 48) 0,526 830 489 6 × 2 = 1 + 0,053 660 979 2;
  • 49) 0,053 660 979 2 × 2 = 0 + 0,107 321 958 4;
  • 50) 0,107 321 958 4 × 2 = 0 + 0,214 643 916 8;
  • 51) 0,214 643 916 8 × 2 = 0 + 0,429 287 833 6;
  • 52) 0,429 287 833 6 × 2 = 0 + 0,858 575 667 2;
  • 53) 0,858 575 667 2 × 2 = 1 + 0,717 151 334 4;
  • 54) 0,717 151 334 4 × 2 = 1 + 0,434 302 668 8;
  • 55) 0,434 302 668 8 × 2 = 0 + 0,868 605 337 6;
  • 56) 0,868 605 337 6 × 2 = 1 + 0,737 210 675 2;
  • 57) 0,737 210 675 2 × 2 = 1 + 0,474 421 350 4;
  • 58) 0,474 421 350 4 × 2 = 0 + 0,948 842 700 8;
  • 59) 0,948 842 700 8 × 2 = 1 + 0,897 685 401 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,014 657 795 7(10) =

0,0000 0011 1100 0000 1001 1101 0000 0001 0010 1001 1011 0111 0000 1101 101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,014 657 795 7(10) =

0,0000 0011 1100 0000 1001 1101 0000 0001 0010 1001 1011 0111 0000 1101 101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,014 657 795 7(10) =

0,0000 0011 1100 0000 1001 1101 0000 0001 0010 1001 1011 0111 0000 1101 101(2) =

0,0000 0011 1100 0000 1001 1101 0000 0001 0010 1001 1011 0111 0000 1101 101(2) × 20 =

1,1110 0000 0100 1110 1000 0000 1001 0100 1101 1011 1000 0110 1101(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 0000 0100 1110 1000 0000 1001 0100 1101 1011 1000 0110 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 0000 0100 1110 1000 0000 1001 0100 1101 1011 1000 0110 1101 =

1110 0000 0100 1110 1000 0000 1001 0100 1101 1011 1000 0110 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
1110 0000 0100 1110 1000 0000 1001 0100 1101 1011 1000 0110 1101


Numărul zecimal -0,014 657 795 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 1110 0000 0100 1110 1000 0000 1001 0100 1101 1011 1000 0110 1101

» Scriere -0,014 657 793 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100