-0,015 117 651 192 56 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,015 117 651 192 56(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,015 117 651 192 56(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,015 117 651 192 56| = 0,015 117 651 192 56


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,015 117 651 192 56.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,015 117 651 192 56 × 2 = 0 + 0,030 235 302 385 12;
  • 2) 0,030 235 302 385 12 × 2 = 0 + 0,060 470 604 770 24;
  • 3) 0,060 470 604 770 24 × 2 = 0 + 0,120 941 209 540 48;
  • 4) 0,120 941 209 540 48 × 2 = 0 + 0,241 882 419 080 96;
  • 5) 0,241 882 419 080 96 × 2 = 0 + 0,483 764 838 161 92;
  • 6) 0,483 764 838 161 92 × 2 = 0 + 0,967 529 676 323 84;
  • 7) 0,967 529 676 323 84 × 2 = 1 + 0,935 059 352 647 68;
  • 8) 0,935 059 352 647 68 × 2 = 1 + 0,870 118 705 295 36;
  • 9) 0,870 118 705 295 36 × 2 = 1 + 0,740 237 410 590 72;
  • 10) 0,740 237 410 590 72 × 2 = 1 + 0,480 474 821 181 44;
  • 11) 0,480 474 821 181 44 × 2 = 0 + 0,960 949 642 362 88;
  • 12) 0,960 949 642 362 88 × 2 = 1 + 0,921 899 284 725 76;
  • 13) 0,921 899 284 725 76 × 2 = 1 + 0,843 798 569 451 52;
  • 14) 0,843 798 569 451 52 × 2 = 1 + 0,687 597 138 903 04;
  • 15) 0,687 597 138 903 04 × 2 = 1 + 0,375 194 277 806 08;
  • 16) 0,375 194 277 806 08 × 2 = 0 + 0,750 388 555 612 16;
  • 17) 0,750 388 555 612 16 × 2 = 1 + 0,500 777 111 224 32;
  • 18) 0,500 777 111 224 32 × 2 = 1 + 0,001 554 222 448 64;
  • 19) 0,001 554 222 448 64 × 2 = 0 + 0,003 108 444 897 28;
  • 20) 0,003 108 444 897 28 × 2 = 0 + 0,006 216 889 794 56;
  • 21) 0,006 216 889 794 56 × 2 = 0 + 0,012 433 779 589 12;
  • 22) 0,012 433 779 589 12 × 2 = 0 + 0,024 867 559 178 24;
  • 23) 0,024 867 559 178 24 × 2 = 0 + 0,049 735 118 356 48;
  • 24) 0,049 735 118 356 48 × 2 = 0 + 0,099 470 236 712 96;
  • 25) 0,099 470 236 712 96 × 2 = 0 + 0,198 940 473 425 92;
  • 26) 0,198 940 473 425 92 × 2 = 0 + 0,397 880 946 851 84;
  • 27) 0,397 880 946 851 84 × 2 = 0 + 0,795 761 893 703 68;
  • 28) 0,795 761 893 703 68 × 2 = 1 + 0,591 523 787 407 36;
  • 29) 0,591 523 787 407 36 × 2 = 1 + 0,183 047 574 814 72;
  • 30) 0,183 047 574 814 72 × 2 = 0 + 0,366 095 149 629 44;
  • 31) 0,366 095 149 629 44 × 2 = 0 + 0,732 190 299 258 88;
  • 32) 0,732 190 299 258 88 × 2 = 1 + 0,464 380 598 517 76;
  • 33) 0,464 380 598 517 76 × 2 = 0 + 0,928 761 197 035 52;
  • 34) 0,928 761 197 035 52 × 2 = 1 + 0,857 522 394 071 04;
  • 35) 0,857 522 394 071 04 × 2 = 1 + 0,715 044 788 142 08;
  • 36) 0,715 044 788 142 08 × 2 = 1 + 0,430 089 576 284 16;
  • 37) 0,430 089 576 284 16 × 2 = 0 + 0,860 179 152 568 32;
  • 38) 0,860 179 152 568 32 × 2 = 1 + 0,720 358 305 136 64;
  • 39) 0,720 358 305 136 64 × 2 = 1 + 0,440 716 610 273 28;
  • 40) 0,440 716 610 273 28 × 2 = 0 + 0,881 433 220 546 56;
  • 41) 0,881 433 220 546 56 × 2 = 1 + 0,762 866 441 093 12;
  • 42) 0,762 866 441 093 12 × 2 = 1 + 0,525 732 882 186 24;
  • 43) 0,525 732 882 186 24 × 2 = 1 + 0,051 465 764 372 48;
  • 44) 0,051 465 764 372 48 × 2 = 0 + 0,102 931 528 744 96;
  • 45) 0,102 931 528 744 96 × 2 = 0 + 0,205 863 057 489 92;
  • 46) 0,205 863 057 489 92 × 2 = 0 + 0,411 726 114 979 84;
  • 47) 0,411 726 114 979 84 × 2 = 0 + 0,823 452 229 959 68;
  • 48) 0,823 452 229 959 68 × 2 = 1 + 0,646 904 459 919 36;
  • 49) 0,646 904 459 919 36 × 2 = 1 + 0,293 808 919 838 72;
  • 50) 0,293 808 919 838 72 × 2 = 0 + 0,587 617 839 677 44;
  • 51) 0,587 617 839 677 44 × 2 = 1 + 0,175 235 679 354 88;
  • 52) 0,175 235 679 354 88 × 2 = 0 + 0,350 471 358 709 76;
  • 53) 0,350 471 358 709 76 × 2 = 0 + 0,700 942 717 419 52;
  • 54) 0,700 942 717 419 52 × 2 = 1 + 0,401 885 434 839 04;
  • 55) 0,401 885 434 839 04 × 2 = 0 + 0,803 770 869 678 08;
  • 56) 0,803 770 869 678 08 × 2 = 1 + 0,607 541 739 356 16;
  • 57) 0,607 541 739 356 16 × 2 = 1 + 0,215 083 478 712 32;
  • 58) 0,215 083 478 712 32 × 2 = 0 + 0,430 166 957 424 64;
  • 59) 0,430 166 957 424 64 × 2 = 0 + 0,860 333 914 849 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,015 117 651 192 56(10) =

0,0000 0011 1101 1110 1100 0000 0001 1001 0111 0110 1110 0001 1010 0101 100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,015 117 651 192 56(10) =

0,0000 0011 1101 1110 1100 0000 0001 1001 0111 0110 1110 0001 1010 0101 100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,015 117 651 192 56(10) =

0,0000 0011 1101 1110 1100 0000 0001 1001 0111 0110 1110 0001 1010 0101 100(2) =

0,0000 0011 1101 1110 1100 0000 0001 1001 0111 0110 1110 0001 1010 0101 100(2) × 20 =

1,1110 1111 0110 0000 0000 1100 1011 1011 0111 0000 1101 0010 1100(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1111 0110 0000 0000 1100 1011 1011 0111 0000 1101 0010 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1111 0110 0000 0000 1100 1011 1011 0111 0000 1101 0010 1100 =

1110 1111 0110 0000 0000 1100 1011 1011 0111 0000 1101 0010 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
1110 1111 0110 0000 0000 1100 1011 1011 0111 0000 1101 0010 1100


Numărul zecimal -0,015 117 651 192 56 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 1110 1111 0110 0000 0000 1100 1011 1011 0111 0000 1101 0010 1100

Distribuie

» Scriere -0,015 117 651 192 24 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100