-0,016 738 891 601 550 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 550 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 550 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 550 7| = 0,016 738 891 601 550 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 550 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 550 7 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 101 4;
  • 2) 0,033 477 783 203 101 4 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 202 8;
  • 3) 0,066 955 566 406 202 8 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 405 6;
  • 4) 0,133 911 132 812 405 6 × 2 = 0 + 0,267 822 265 624 811 2;
  • 5) 0,267 822 265 624 811 2 × 2 = 0 + 0,535 644 531 249 622 4;
  • 6) 0,535 644 531 249 622 4 × 2 = 1 + 0,071 289 062 499 244 8;
  • 7) 0,071 289 062 499 244 8 × 2 = 0 + 0,142 578 124 998 489 6;
  • 8) 0,142 578 124 998 489 6 × 2 = 0 + 0,285 156 249 996 979 2;
  • 9) 0,285 156 249 996 979 2 × 2 = 0 + 0,570 312 499 993 958 4;
  • 10) 0,570 312 499 993 958 4 × 2 = 1 + 0,140 624 999 987 916 8;
  • 11) 0,140 624 999 987 916 8 × 2 = 0 + 0,281 249 999 975 833 6;
  • 12) 0,281 249 999 975 833 6 × 2 = 0 + 0,562 499 999 951 667 2;
  • 13) 0,562 499 999 951 667 2 × 2 = 1 + 0,124 999 999 903 334 4;
  • 14) 0,124 999 999 903 334 4 × 2 = 0 + 0,249 999 999 806 668 8;
  • 15) 0,249 999 999 806 668 8 × 2 = 0 + 0,499 999 999 613 337 6;
  • 16) 0,499 999 999 613 337 6 × 2 = 0 + 0,999 999 999 226 675 2;
  • 17) 0,999 999 999 226 675 2 × 2 = 1 + 0,999 999 998 453 350 4;
  • 18) 0,999 999 998 453 350 4 × 2 = 1 + 0,999 999 996 906 700 8;
  • 19) 0,999 999 996 906 700 8 × 2 = 1 + 0,999 999 993 813 401 6;
  • 20) 0,999 999 993 813 401 6 × 2 = 1 + 0,999 999 987 626 803 2;
  • 21) 0,999 999 987 626 803 2 × 2 = 1 + 0,999 999 975 253 606 4;
  • 22) 0,999 999 975 253 606 4 × 2 = 1 + 0,999 999 950 507 212 8;
  • 23) 0,999 999 950 507 212 8 × 2 = 1 + 0,999 999 901 014 425 6;
  • 24) 0,999 999 901 014 425 6 × 2 = 1 + 0,999 999 802 028 851 2;
  • 25) 0,999 999 802 028 851 2 × 2 = 1 + 0,999 999 604 057 702 4;
  • 26) 0,999 999 604 057 702 4 × 2 = 1 + 0,999 999 208 115 404 8;
  • 27) 0,999 999 208 115 404 8 × 2 = 1 + 0,999 998 416 230 809 6;
  • 28) 0,999 998 416 230 809 6 × 2 = 1 + 0,999 996 832 461 619 2;
  • 29) 0,999 996 832 461 619 2 × 2 = 1 + 0,999 993 664 923 238 4;
  • 30) 0,999 993 664 923 238 4 × 2 = 1 + 0,999 987 329 846 476 8;
  • 31) 0,999 987 329 846 476 8 × 2 = 1 + 0,999 974 659 692 953 6;
  • 32) 0,999 974 659 692 953 6 × 2 = 1 + 0,999 949 319 385 907 2;
  • 33) 0,999 949 319 385 907 2 × 2 = 1 + 0,999 898 638 771 814 4;
  • 34) 0,999 898 638 771 814 4 × 2 = 1 + 0,999 797 277 543 628 8;
  • 35) 0,999 797 277 543 628 8 × 2 = 1 + 0,999 594 555 087 257 6;
  • 36) 0,999 594 555 087 257 6 × 2 = 1 + 0,999 189 110 174 515 2;
  • 37) 0,999 189 110 174 515 2 × 2 = 1 + 0,998 378 220 349 030 4;
  • 38) 0,998 378 220 349 030 4 × 2 = 1 + 0,996 756 440 698 060 8;
  • 39) 0,996 756 440 698 060 8 × 2 = 1 + 0,993 512 881 396 121 6;
  • 40) 0,993 512 881 396 121 6 × 2 = 1 + 0,987 025 762 792 243 2;
  • 41) 0,987 025 762 792 243 2 × 2 = 1 + 0,974 051 525 584 486 4;
  • 42) 0,974 051 525 584 486 4 × 2 = 1 + 0,948 103 051 168 972 8;
  • 43) 0,948 103 051 168 972 8 × 2 = 1 + 0,896 206 102 337 945 6;
  • 44) 0,896 206 102 337 945 6 × 2 = 1 + 0,792 412 204 675 891 2;
  • 45) 0,792 412 204 675 891 2 × 2 = 1 + 0,584 824 409 351 782 4;
  • 46) 0,584 824 409 351 782 4 × 2 = 1 + 0,169 648 818 703 564 8;
  • 47) 0,169 648 818 703 564 8 × 2 = 0 + 0,339 297 637 407 129 6;
  • 48) 0,339 297 637 407 129 6 × 2 = 0 + 0,678 595 274 814 259 2;
  • 49) 0,678 595 274 814 259 2 × 2 = 1 + 0,357 190 549 628 518 4;
  • 50) 0,357 190 549 628 518 4 × 2 = 0 + 0,714 381 099 257 036 8;
  • 51) 0,714 381 099 257 036 8 × 2 = 1 + 0,428 762 198 514 073 6;
  • 52) 0,428 762 198 514 073 6 × 2 = 0 + 0,857 524 397 028 147 2;
  • 53) 0,857 524 397 028 147 2 × 2 = 1 + 0,715 048 794 056 294 4;
  • 54) 0,715 048 794 056 294 4 × 2 = 1 + 0,430 097 588 112 588 8;
  • 55) 0,430 097 588 112 588 8 × 2 = 0 + 0,860 195 176 225 177 6;
  • 56) 0,860 195 176 225 177 6 × 2 = 1 + 0,720 390 352 450 355 2;
  • 57) 0,720 390 352 450 355 2 × 2 = 1 + 0,440 780 704 900 710 4;
  • 58) 0,440 780 704 900 710 4 × 2 = 0 + 0,881 561 409 801 420 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 550 7(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 1010 1101 10(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 550 7(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 1010 1101 10(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 550 7(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 1010 1101 10(2) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 1010 1101 10(2) × 20 =

1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0010 1011 0110(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0010 1011 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0010 1011 0110 =

0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0010 1011 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0010 1011 0110


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 550 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0010 1011 0110

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 541 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100