-0,016 738 891 601 562 475 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 475 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 475 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 475 6| = 0,016 738 891 601 562 475 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 475 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 475 6 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 124 951 2;
  • 2) 0,033 477 783 203 124 951 2 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 249 902 4;
  • 3) 0,066 955 566 406 249 902 4 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 499 804 8;
  • 4) 0,133 911 132 812 499 804 8 × 2 = 0 + 0,267 822 265 624 999 609 6;
  • 5) 0,267 822 265 624 999 609 6 × 2 = 0 + 0,535 644 531 249 999 219 2;
  • 6) 0,535 644 531 249 999 219 2 × 2 = 1 + 0,071 289 062 499 998 438 4;
  • 7) 0,071 289 062 499 998 438 4 × 2 = 0 + 0,142 578 124 999 996 876 8;
  • 8) 0,142 578 124 999 996 876 8 × 2 = 0 + 0,285 156 249 999 993 753 6;
  • 9) 0,285 156 249 999 993 753 6 × 2 = 0 + 0,570 312 499 999 987 507 2;
  • 10) 0,570 312 499 999 987 507 2 × 2 = 1 + 0,140 624 999 999 975 014 4;
  • 11) 0,140 624 999 999 975 014 4 × 2 = 0 + 0,281 249 999 999 950 028 8;
  • 12) 0,281 249 999 999 950 028 8 × 2 = 0 + 0,562 499 999 999 900 057 6;
  • 13) 0,562 499 999 999 900 057 6 × 2 = 1 + 0,124 999 999 999 800 115 2;
  • 14) 0,124 999 999 999 800 115 2 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 600 230 4;
  • 15) 0,249 999 999 999 600 230 4 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 200 460 8;
  • 16) 0,499 999 999 999 200 460 8 × 2 = 0 + 0,999 999 999 998 400 921 6;
  • 17) 0,999 999 999 998 400 921 6 × 2 = 1 + 0,999 999 999 996 801 843 2;
  • 18) 0,999 999 999 996 801 843 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 993 603 686 4;
  • 19) 0,999 999 999 993 603 686 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 987 207 372 8;
  • 20) 0,999 999 999 987 207 372 8 × 2 = 1 + 0,999 999 999 974 414 745 6;
  • 21) 0,999 999 999 974 414 745 6 × 2 = 1 + 0,999 999 999 948 829 491 2;
  • 22) 0,999 999 999 948 829 491 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 897 658 982 4;
  • 23) 0,999 999 999 897 658 982 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 795 317 964 8;
  • 24) 0,999 999 999 795 317 964 8 × 2 = 1 + 0,999 999 999 590 635 929 6;
  • 25) 0,999 999 999 590 635 929 6 × 2 = 1 + 0,999 999 999 181 271 859 2;
  • 26) 0,999 999 999 181 271 859 2 × 2 = 1 + 0,999 999 998 362 543 718 4;
  • 27) 0,999 999 998 362 543 718 4 × 2 = 1 + 0,999 999 996 725 087 436 8;
  • 28) 0,999 999 996 725 087 436 8 × 2 = 1 + 0,999 999 993 450 174 873 6;
  • 29) 0,999 999 993 450 174 873 6 × 2 = 1 + 0,999 999 986 900 349 747 2;
  • 30) 0,999 999 986 900 349 747 2 × 2 = 1 + 0,999 999 973 800 699 494 4;
  • 31) 0,999 999 973 800 699 494 4 × 2 = 1 + 0,999 999 947 601 398 988 8;
  • 32) 0,999 999 947 601 398 988 8 × 2 = 1 + 0,999 999 895 202 797 977 6;
  • 33) 0,999 999 895 202 797 977 6 × 2 = 1 + 0,999 999 790 405 595 955 2;
  • 34) 0,999 999 790 405 595 955 2 × 2 = 1 + 0,999 999 580 811 191 910 4;
  • 35) 0,999 999 580 811 191 910 4 × 2 = 1 + 0,999 999 161 622 383 820 8;
  • 36) 0,999 999 161 622 383 820 8 × 2 = 1 + 0,999 998 323 244 767 641 6;
  • 37) 0,999 998 323 244 767 641 6 × 2 = 1 + 0,999 996 646 489 535 283 2;
  • 38) 0,999 996 646 489 535 283 2 × 2 = 1 + 0,999 993 292 979 070 566 4;
  • 39) 0,999 993 292 979 070 566 4 × 2 = 1 + 0,999 986 585 958 141 132 8;
  • 40) 0,999 986 585 958 141 132 8 × 2 = 1 + 0,999 973 171 916 282 265 6;
  • 41) 0,999 973 171 916 282 265 6 × 2 = 1 + 0,999 946 343 832 564 531 2;
  • 42) 0,999 946 343 832 564 531 2 × 2 = 1 + 0,999 892 687 665 129 062 4;
  • 43) 0,999 892 687 665 129 062 4 × 2 = 1 + 0,999 785 375 330 258 124 8;
  • 44) 0,999 785 375 330 258 124 8 × 2 = 1 + 0,999 570 750 660 516 249 6;
  • 45) 0,999 570 750 660 516 249 6 × 2 = 1 + 0,999 141 501 321 032 499 2;
  • 46) 0,999 141 501 321 032 499 2 × 2 = 1 + 0,998 283 002 642 064 998 4;
  • 47) 0,998 283 002 642 064 998 4 × 2 = 1 + 0,996 566 005 284 129 996 8;
  • 48) 0,996 566 005 284 129 996 8 × 2 = 1 + 0,993 132 010 568 259 993 6;
  • 49) 0,993 132 010 568 259 993 6 × 2 = 1 + 0,986 264 021 136 519 987 2;
  • 50) 0,986 264 021 136 519 987 2 × 2 = 1 + 0,972 528 042 273 039 974 4;
  • 51) 0,972 528 042 273 039 974 4 × 2 = 1 + 0,945 056 084 546 079 948 8;
  • 52) 0,945 056 084 546 079 948 8 × 2 = 1 + 0,890 112 169 092 159 897 6;
  • 53) 0,890 112 169 092 159 897 6 × 2 = 1 + 0,780 224 338 184 319 795 2;
  • 54) 0,780 224 338 184 319 795 2 × 2 = 1 + 0,560 448 676 368 639 590 4;
  • 55) 0,560 448 676 368 639 590 4 × 2 = 1 + 0,120 897 352 737 279 180 8;
  • 56) 0,120 897 352 737 279 180 8 × 2 = 0 + 0,241 794 705 474 558 361 6;
  • 57) 0,241 794 705 474 558 361 6 × 2 = 0 + 0,483 589 410 949 116 723 2;
  • 58) 0,483 589 410 949 116 723 2 × 2 = 0 + 0,967 178 821 898 233 446 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 475 6(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 475 6(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 475 6(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 00(2) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 00(2) × 20 =

1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 =

0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 475 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 478 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100