-0,016 738 891 601 562 478 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 478 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 478 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 478 2| = 0,016 738 891 601 562 478 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 478 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 478 2 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 124 956 4;
  • 2) 0,033 477 783 203 124 956 4 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 249 912 8;
  • 3) 0,066 955 566 406 249 912 8 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 499 825 6;
  • 4) 0,133 911 132 812 499 825 6 × 2 = 0 + 0,267 822 265 624 999 651 2;
  • 5) 0,267 822 265 624 999 651 2 × 2 = 0 + 0,535 644 531 249 999 302 4;
  • 6) 0,535 644 531 249 999 302 4 × 2 = 1 + 0,071 289 062 499 998 604 8;
  • 7) 0,071 289 062 499 998 604 8 × 2 = 0 + 0,142 578 124 999 997 209 6;
  • 8) 0,142 578 124 999 997 209 6 × 2 = 0 + 0,285 156 249 999 994 419 2;
  • 9) 0,285 156 249 999 994 419 2 × 2 = 0 + 0,570 312 499 999 988 838 4;
  • 10) 0,570 312 499 999 988 838 4 × 2 = 1 + 0,140 624 999 999 977 676 8;
  • 11) 0,140 624 999 999 977 676 8 × 2 = 0 + 0,281 249 999 999 955 353 6;
  • 12) 0,281 249 999 999 955 353 6 × 2 = 0 + 0,562 499 999 999 910 707 2;
  • 13) 0,562 499 999 999 910 707 2 × 2 = 1 + 0,124 999 999 999 821 414 4;
  • 14) 0,124 999 999 999 821 414 4 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 642 828 8;
  • 15) 0,249 999 999 999 642 828 8 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 285 657 6;
  • 16) 0,499 999 999 999 285 657 6 × 2 = 0 + 0,999 999 999 998 571 315 2;
  • 17) 0,999 999 999 998 571 315 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 997 142 630 4;
  • 18) 0,999 999 999 997 142 630 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 994 285 260 8;
  • 19) 0,999 999 999 994 285 260 8 × 2 = 1 + 0,999 999 999 988 570 521 6;
  • 20) 0,999 999 999 988 570 521 6 × 2 = 1 + 0,999 999 999 977 141 043 2;
  • 21) 0,999 999 999 977 141 043 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 954 282 086 4;
  • 22) 0,999 999 999 954 282 086 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 908 564 172 8;
  • 23) 0,999 999 999 908 564 172 8 × 2 = 1 + 0,999 999 999 817 128 345 6;
  • 24) 0,999 999 999 817 128 345 6 × 2 = 1 + 0,999 999 999 634 256 691 2;
  • 25) 0,999 999 999 634 256 691 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 268 513 382 4;
  • 26) 0,999 999 999 268 513 382 4 × 2 = 1 + 0,999 999 998 537 026 764 8;
  • 27) 0,999 999 998 537 026 764 8 × 2 = 1 + 0,999 999 997 074 053 529 6;
  • 28) 0,999 999 997 074 053 529 6 × 2 = 1 + 0,999 999 994 148 107 059 2;
  • 29) 0,999 999 994 148 107 059 2 × 2 = 1 + 0,999 999 988 296 214 118 4;
  • 30) 0,999 999 988 296 214 118 4 × 2 = 1 + 0,999 999 976 592 428 236 8;
  • 31) 0,999 999 976 592 428 236 8 × 2 = 1 + 0,999 999 953 184 856 473 6;
  • 32) 0,999 999 953 184 856 473 6 × 2 = 1 + 0,999 999 906 369 712 947 2;
  • 33) 0,999 999 906 369 712 947 2 × 2 = 1 + 0,999 999 812 739 425 894 4;
  • 34) 0,999 999 812 739 425 894 4 × 2 = 1 + 0,999 999 625 478 851 788 8;
  • 35) 0,999 999 625 478 851 788 8 × 2 = 1 + 0,999 999 250 957 703 577 6;
  • 36) 0,999 999 250 957 703 577 6 × 2 = 1 + 0,999 998 501 915 407 155 2;
  • 37) 0,999 998 501 915 407 155 2 × 2 = 1 + 0,999 997 003 830 814 310 4;
  • 38) 0,999 997 003 830 814 310 4 × 2 = 1 + 0,999 994 007 661 628 620 8;
  • 39) 0,999 994 007 661 628 620 8 × 2 = 1 + 0,999 988 015 323 257 241 6;
  • 40) 0,999 988 015 323 257 241 6 × 2 = 1 + 0,999 976 030 646 514 483 2;
  • 41) 0,999 976 030 646 514 483 2 × 2 = 1 + 0,999 952 061 293 028 966 4;
  • 42) 0,999 952 061 293 028 966 4 × 2 = 1 + 0,999 904 122 586 057 932 8;
  • 43) 0,999 904 122 586 057 932 8 × 2 = 1 + 0,999 808 245 172 115 865 6;
  • 44) 0,999 808 245 172 115 865 6 × 2 = 1 + 0,999 616 490 344 231 731 2;
  • 45) 0,999 616 490 344 231 731 2 × 2 = 1 + 0,999 232 980 688 463 462 4;
  • 46) 0,999 232 980 688 463 462 4 × 2 = 1 + 0,998 465 961 376 926 924 8;
  • 47) 0,998 465 961 376 926 924 8 × 2 = 1 + 0,996 931 922 753 853 849 6;
  • 48) 0,996 931 922 753 853 849 6 × 2 = 1 + 0,993 863 845 507 707 699 2;
  • 49) 0,993 863 845 507 707 699 2 × 2 = 1 + 0,987 727 691 015 415 398 4;
  • 50) 0,987 727 691 015 415 398 4 × 2 = 1 + 0,975 455 382 030 830 796 8;
  • 51) 0,975 455 382 030 830 796 8 × 2 = 1 + 0,950 910 764 061 661 593 6;
  • 52) 0,950 910 764 061 661 593 6 × 2 = 1 + 0,901 821 528 123 323 187 2;
  • 53) 0,901 821 528 123 323 187 2 × 2 = 1 + 0,803 643 056 246 646 374 4;
  • 54) 0,803 643 056 246 646 374 4 × 2 = 1 + 0,607 286 112 493 292 748 8;
  • 55) 0,607 286 112 493 292 748 8 × 2 = 1 + 0,214 572 224 986 585 497 6;
  • 56) 0,214 572 224 986 585 497 6 × 2 = 0 + 0,429 144 449 973 170 995 2;
  • 57) 0,429 144 449 973 170 995 2 × 2 = 0 + 0,858 288 899 946 341 990 4;
  • 58) 0,858 288 899 946 341 990 4 × 2 = 1 + 0,716 577 799 892 683 980 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 478 2(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 01(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 478 2(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 01(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 478 2(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 01(2) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 01(2) × 20 =

1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001 =

0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 478 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1001

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 472 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100