-0,016 738 891 601 562 483 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 483 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 483 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 483 9| = 0,016 738 891 601 562 483 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 483 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 483 9 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 124 967 8;
  • 2) 0,033 477 783 203 124 967 8 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 249 935 6;
  • 3) 0,066 955 566 406 249 935 6 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 499 871 2;
  • 4) 0,133 911 132 812 499 871 2 × 2 = 0 + 0,267 822 265 624 999 742 4;
  • 5) 0,267 822 265 624 999 742 4 × 2 = 0 + 0,535 644 531 249 999 484 8;
  • 6) 0,535 644 531 249 999 484 8 × 2 = 1 + 0,071 289 062 499 998 969 6;
  • 7) 0,071 289 062 499 998 969 6 × 2 = 0 + 0,142 578 124 999 997 939 2;
  • 8) 0,142 578 124 999 997 939 2 × 2 = 0 + 0,285 156 249 999 995 878 4;
  • 9) 0,285 156 249 999 995 878 4 × 2 = 0 + 0,570 312 499 999 991 756 8;
  • 10) 0,570 312 499 999 991 756 8 × 2 = 1 + 0,140 624 999 999 983 513 6;
  • 11) 0,140 624 999 999 983 513 6 × 2 = 0 + 0,281 249 999 999 967 027 2;
  • 12) 0,281 249 999 999 967 027 2 × 2 = 0 + 0,562 499 999 999 934 054 4;
  • 13) 0,562 499 999 999 934 054 4 × 2 = 1 + 0,124 999 999 999 868 108 8;
  • 14) 0,124 999 999 999 868 108 8 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 736 217 6;
  • 15) 0,249 999 999 999 736 217 6 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 472 435 2;
  • 16) 0,499 999 999 999 472 435 2 × 2 = 0 + 0,999 999 999 998 944 870 4;
  • 17) 0,999 999 999 998 944 870 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 997 889 740 8;
  • 18) 0,999 999 999 997 889 740 8 × 2 = 1 + 0,999 999 999 995 779 481 6;
  • 19) 0,999 999 999 995 779 481 6 × 2 = 1 + 0,999 999 999 991 558 963 2;
  • 20) 0,999 999 999 991 558 963 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 983 117 926 4;
  • 21) 0,999 999 999 983 117 926 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 966 235 852 8;
  • 22) 0,999 999 999 966 235 852 8 × 2 = 1 + 0,999 999 999 932 471 705 6;
  • 23) 0,999 999 999 932 471 705 6 × 2 = 1 + 0,999 999 999 864 943 411 2;
  • 24) 0,999 999 999 864 943 411 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 729 886 822 4;
  • 25) 0,999 999 999 729 886 822 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 459 773 644 8;
  • 26) 0,999 999 999 459 773 644 8 × 2 = 1 + 0,999 999 998 919 547 289 6;
  • 27) 0,999 999 998 919 547 289 6 × 2 = 1 + 0,999 999 997 839 094 579 2;
  • 28) 0,999 999 997 839 094 579 2 × 2 = 1 + 0,999 999 995 678 189 158 4;
  • 29) 0,999 999 995 678 189 158 4 × 2 = 1 + 0,999 999 991 356 378 316 8;
  • 30) 0,999 999 991 356 378 316 8 × 2 = 1 + 0,999 999 982 712 756 633 6;
  • 31) 0,999 999 982 712 756 633 6 × 2 = 1 + 0,999 999 965 425 513 267 2;
  • 32) 0,999 999 965 425 513 267 2 × 2 = 1 + 0,999 999 930 851 026 534 4;
  • 33) 0,999 999 930 851 026 534 4 × 2 = 1 + 0,999 999 861 702 053 068 8;
  • 34) 0,999 999 861 702 053 068 8 × 2 = 1 + 0,999 999 723 404 106 137 6;
  • 35) 0,999 999 723 404 106 137 6 × 2 = 1 + 0,999 999 446 808 212 275 2;
  • 36) 0,999 999 446 808 212 275 2 × 2 = 1 + 0,999 998 893 616 424 550 4;
  • 37) 0,999 998 893 616 424 550 4 × 2 = 1 + 0,999 997 787 232 849 100 8;
  • 38) 0,999 997 787 232 849 100 8 × 2 = 1 + 0,999 995 574 465 698 201 6;
  • 39) 0,999 995 574 465 698 201 6 × 2 = 1 + 0,999 991 148 931 396 403 2;
  • 40) 0,999 991 148 931 396 403 2 × 2 = 1 + 0,999 982 297 862 792 806 4;
  • 41) 0,999 982 297 862 792 806 4 × 2 = 1 + 0,999 964 595 725 585 612 8;
  • 42) 0,999 964 595 725 585 612 8 × 2 = 1 + 0,999 929 191 451 171 225 6;
  • 43) 0,999 929 191 451 171 225 6 × 2 = 1 + 0,999 858 382 902 342 451 2;
  • 44) 0,999 858 382 902 342 451 2 × 2 = 1 + 0,999 716 765 804 684 902 4;
  • 45) 0,999 716 765 804 684 902 4 × 2 = 1 + 0,999 433 531 609 369 804 8;
  • 46) 0,999 433 531 609 369 804 8 × 2 = 1 + 0,998 867 063 218 739 609 6;
  • 47) 0,998 867 063 218 739 609 6 × 2 = 1 + 0,997 734 126 437 479 219 2;
  • 48) 0,997 734 126 437 479 219 2 × 2 = 1 + 0,995 468 252 874 958 438 4;
  • 49) 0,995 468 252 874 958 438 4 × 2 = 1 + 0,990 936 505 749 916 876 8;
  • 50) 0,990 936 505 749 916 876 8 × 2 = 1 + 0,981 873 011 499 833 753 6;
  • 51) 0,981 873 011 499 833 753 6 × 2 = 1 + 0,963 746 022 999 667 507 2;
  • 52) 0,963 746 022 999 667 507 2 × 2 = 1 + 0,927 492 045 999 335 014 4;
  • 53) 0,927 492 045 999 335 014 4 × 2 = 1 + 0,854 984 091 998 670 028 8;
  • 54) 0,854 984 091 998 670 028 8 × 2 = 1 + 0,709 968 183 997 340 057 6;
  • 55) 0,709 968 183 997 340 057 6 × 2 = 1 + 0,419 936 367 994 680 115 2;
  • 56) 0,419 936 367 994 680 115 2 × 2 = 0 + 0,839 872 735 989 360 230 4;
  • 57) 0,839 872 735 989 360 230 4 × 2 = 1 + 0,679 745 471 978 720 460 8;
  • 58) 0,679 745 471 978 720 460 8 × 2 = 1 + 0,359 490 943 957 440 921 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 483 9(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 483 9(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 483 9(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 11(2) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 11(2) × 20 =

1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011 =

0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 483 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 481 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100