-0,016 738 891 601 562 495 88 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 495 88(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 495 88(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 495 88| = 0,016 738 891 601 562 495 88


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 495 88.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 495 88 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 124 991 76;
  • 2) 0,033 477 783 203 124 991 76 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 249 983 52;
  • 3) 0,066 955 566 406 249 983 52 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 499 967 04;
  • 4) 0,133 911 132 812 499 967 04 × 2 = 0 + 0,267 822 265 624 999 934 08;
  • 5) 0,267 822 265 624 999 934 08 × 2 = 0 + 0,535 644 531 249 999 868 16;
  • 6) 0,535 644 531 249 999 868 16 × 2 = 1 + 0,071 289 062 499 999 736 32;
  • 7) 0,071 289 062 499 999 736 32 × 2 = 0 + 0,142 578 124 999 999 472 64;
  • 8) 0,142 578 124 999 999 472 64 × 2 = 0 + 0,285 156 249 999 998 945 28;
  • 9) 0,285 156 249 999 998 945 28 × 2 = 0 + 0,570 312 499 999 997 890 56;
  • 10) 0,570 312 499 999 997 890 56 × 2 = 1 + 0,140 624 999 999 995 781 12;
  • 11) 0,140 624 999 999 995 781 12 × 2 = 0 + 0,281 249 999 999 991 562 24;
  • 12) 0,281 249 999 999 991 562 24 × 2 = 0 + 0,562 499 999 999 983 124 48;
  • 13) 0,562 499 999 999 983 124 48 × 2 = 1 + 0,124 999 999 999 966 248 96;
  • 14) 0,124 999 999 999 966 248 96 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 932 497 92;
  • 15) 0,249 999 999 999 932 497 92 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 864 995 84;
  • 16) 0,499 999 999 999 864 995 84 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 729 991 68;
  • 17) 0,999 999 999 999 729 991 68 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 459 983 36;
  • 18) 0,999 999 999 999 459 983 36 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 919 966 72;
  • 19) 0,999 999 999 998 919 966 72 × 2 = 1 + 0,999 999 999 997 839 933 44;
  • 20) 0,999 999 999 997 839 933 44 × 2 = 1 + 0,999 999 999 995 679 866 88;
  • 21) 0,999 999 999 995 679 866 88 × 2 = 1 + 0,999 999 999 991 359 733 76;
  • 22) 0,999 999 999 991 359 733 76 × 2 = 1 + 0,999 999 999 982 719 467 52;
  • 23) 0,999 999 999 982 719 467 52 × 2 = 1 + 0,999 999 999 965 438 935 04;
  • 24) 0,999 999 999 965 438 935 04 × 2 = 1 + 0,999 999 999 930 877 870 08;
  • 25) 0,999 999 999 930 877 870 08 × 2 = 1 + 0,999 999 999 861 755 740 16;
  • 26) 0,999 999 999 861 755 740 16 × 2 = 1 + 0,999 999 999 723 511 480 32;
  • 27) 0,999 999 999 723 511 480 32 × 2 = 1 + 0,999 999 999 447 022 960 64;
  • 28) 0,999 999 999 447 022 960 64 × 2 = 1 + 0,999 999 998 894 045 921 28;
  • 29) 0,999 999 998 894 045 921 28 × 2 = 1 + 0,999 999 997 788 091 842 56;
  • 30) 0,999 999 997 788 091 842 56 × 2 = 1 + 0,999 999 995 576 183 685 12;
  • 31) 0,999 999 995 576 183 685 12 × 2 = 1 + 0,999 999 991 152 367 370 24;
  • 32) 0,999 999 991 152 367 370 24 × 2 = 1 + 0,999 999 982 304 734 740 48;
  • 33) 0,999 999 982 304 734 740 48 × 2 = 1 + 0,999 999 964 609 469 480 96;
  • 34) 0,999 999 964 609 469 480 96 × 2 = 1 + 0,999 999 929 218 938 961 92;
  • 35) 0,999 999 929 218 938 961 92 × 2 = 1 + 0,999 999 858 437 877 923 84;
  • 36) 0,999 999 858 437 877 923 84 × 2 = 1 + 0,999 999 716 875 755 847 68;
  • 37) 0,999 999 716 875 755 847 68 × 2 = 1 + 0,999 999 433 751 511 695 36;
  • 38) 0,999 999 433 751 511 695 36 × 2 = 1 + 0,999 998 867 503 023 390 72;
  • 39) 0,999 998 867 503 023 390 72 × 2 = 1 + 0,999 997 735 006 046 781 44;
  • 40) 0,999 997 735 006 046 781 44 × 2 = 1 + 0,999 995 470 012 093 562 88;
  • 41) 0,999 995 470 012 093 562 88 × 2 = 1 + 0,999 990 940 024 187 125 76;
  • 42) 0,999 990 940 024 187 125 76 × 2 = 1 + 0,999 981 880 048 374 251 52;
  • 43) 0,999 981 880 048 374 251 52 × 2 = 1 + 0,999 963 760 096 748 503 04;
  • 44) 0,999 963 760 096 748 503 04 × 2 = 1 + 0,999 927 520 193 497 006 08;
  • 45) 0,999 927 520 193 497 006 08 × 2 = 1 + 0,999 855 040 386 994 012 16;
  • 46) 0,999 855 040 386 994 012 16 × 2 = 1 + 0,999 710 080 773 988 024 32;
  • 47) 0,999 710 080 773 988 024 32 × 2 = 1 + 0,999 420 161 547 976 048 64;
  • 48) 0,999 420 161 547 976 048 64 × 2 = 1 + 0,998 840 323 095 952 097 28;
  • 49) 0,998 840 323 095 952 097 28 × 2 = 1 + 0,997 680 646 191 904 194 56;
  • 50) 0,997 680 646 191 904 194 56 × 2 = 1 + 0,995 361 292 383 808 389 12;
  • 51) 0,995 361 292 383 808 389 12 × 2 = 1 + 0,990 722 584 767 616 778 24;
  • 52) 0,990 722 584 767 616 778 24 × 2 = 1 + 0,981 445 169 535 233 556 48;
  • 53) 0,981 445 169 535 233 556 48 × 2 = 1 + 0,962 890 339 070 467 112 96;
  • 54) 0,962 890 339 070 467 112 96 × 2 = 1 + 0,925 780 678 140 934 225 92;
  • 55) 0,925 780 678 140 934 225 92 × 2 = 1 + 0,851 561 356 281 868 451 84;
  • 56) 0,851 561 356 281 868 451 84 × 2 = 1 + 0,703 122 712 563 736 903 68;
  • 57) 0,703 122 712 563 736 903 68 × 2 = 1 + 0,406 245 425 127 473 807 36;
  • 58) 0,406 245 425 127 473 807 36 × 2 = 0 + 0,812 490 850 254 947 614 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 495 88(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 10(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 495 88(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 10(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 495 88(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 10(2) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 10(2) × 20 =

1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 =

0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 495 88 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 495 22 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100