-0,016 738 891 601 562 496 57 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 496 57(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 496 57(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 496 57| = 0,016 738 891 601 562 496 57


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 496 57.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 496 57 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 124 993 14;
  • 2) 0,033 477 783 203 124 993 14 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 249 986 28;
  • 3) 0,066 955 566 406 249 986 28 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 499 972 56;
  • 4) 0,133 911 132 812 499 972 56 × 2 = 0 + 0,267 822 265 624 999 945 12;
  • 5) 0,267 822 265 624 999 945 12 × 2 = 0 + 0,535 644 531 249 999 890 24;
  • 6) 0,535 644 531 249 999 890 24 × 2 = 1 + 0,071 289 062 499 999 780 48;
  • 7) 0,071 289 062 499 999 780 48 × 2 = 0 + 0,142 578 124 999 999 560 96;
  • 8) 0,142 578 124 999 999 560 96 × 2 = 0 + 0,285 156 249 999 999 121 92;
  • 9) 0,285 156 249 999 999 121 92 × 2 = 0 + 0,570 312 499 999 998 243 84;
  • 10) 0,570 312 499 999 998 243 84 × 2 = 1 + 0,140 624 999 999 996 487 68;
  • 11) 0,140 624 999 999 996 487 68 × 2 = 0 + 0,281 249 999 999 992 975 36;
  • 12) 0,281 249 999 999 992 975 36 × 2 = 0 + 0,562 499 999 999 985 950 72;
  • 13) 0,562 499 999 999 985 950 72 × 2 = 1 + 0,124 999 999 999 971 901 44;
  • 14) 0,124 999 999 999 971 901 44 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 943 802 88;
  • 15) 0,249 999 999 999 943 802 88 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 887 605 76;
  • 16) 0,499 999 999 999 887 605 76 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 775 211 52;
  • 17) 0,999 999 999 999 775 211 52 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 550 423 04;
  • 18) 0,999 999 999 999 550 423 04 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 100 846 08;
  • 19) 0,999 999 999 999 100 846 08 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 201 692 16;
  • 20) 0,999 999 999 998 201 692 16 × 2 = 1 + 0,999 999 999 996 403 384 32;
  • 21) 0,999 999 999 996 403 384 32 × 2 = 1 + 0,999 999 999 992 806 768 64;
  • 22) 0,999 999 999 992 806 768 64 × 2 = 1 + 0,999 999 999 985 613 537 28;
  • 23) 0,999 999 999 985 613 537 28 × 2 = 1 + 0,999 999 999 971 227 074 56;
  • 24) 0,999 999 999 971 227 074 56 × 2 = 1 + 0,999 999 999 942 454 149 12;
  • 25) 0,999 999 999 942 454 149 12 × 2 = 1 + 0,999 999 999 884 908 298 24;
  • 26) 0,999 999 999 884 908 298 24 × 2 = 1 + 0,999 999 999 769 816 596 48;
  • 27) 0,999 999 999 769 816 596 48 × 2 = 1 + 0,999 999 999 539 633 192 96;
  • 28) 0,999 999 999 539 633 192 96 × 2 = 1 + 0,999 999 999 079 266 385 92;
  • 29) 0,999 999 999 079 266 385 92 × 2 = 1 + 0,999 999 998 158 532 771 84;
  • 30) 0,999 999 998 158 532 771 84 × 2 = 1 + 0,999 999 996 317 065 543 68;
  • 31) 0,999 999 996 317 065 543 68 × 2 = 1 + 0,999 999 992 634 131 087 36;
  • 32) 0,999 999 992 634 131 087 36 × 2 = 1 + 0,999 999 985 268 262 174 72;
  • 33) 0,999 999 985 268 262 174 72 × 2 = 1 + 0,999 999 970 536 524 349 44;
  • 34) 0,999 999 970 536 524 349 44 × 2 = 1 + 0,999 999 941 073 048 698 88;
  • 35) 0,999 999 941 073 048 698 88 × 2 = 1 + 0,999 999 882 146 097 397 76;
  • 36) 0,999 999 882 146 097 397 76 × 2 = 1 + 0,999 999 764 292 194 795 52;
  • 37) 0,999 999 764 292 194 795 52 × 2 = 1 + 0,999 999 528 584 389 591 04;
  • 38) 0,999 999 528 584 389 591 04 × 2 = 1 + 0,999 999 057 168 779 182 08;
  • 39) 0,999 999 057 168 779 182 08 × 2 = 1 + 0,999 998 114 337 558 364 16;
  • 40) 0,999 998 114 337 558 364 16 × 2 = 1 + 0,999 996 228 675 116 728 32;
  • 41) 0,999 996 228 675 116 728 32 × 2 = 1 + 0,999 992 457 350 233 456 64;
  • 42) 0,999 992 457 350 233 456 64 × 2 = 1 + 0,999 984 914 700 466 913 28;
  • 43) 0,999 984 914 700 466 913 28 × 2 = 1 + 0,999 969 829 400 933 826 56;
  • 44) 0,999 969 829 400 933 826 56 × 2 = 1 + 0,999 939 658 801 867 653 12;
  • 45) 0,999 939 658 801 867 653 12 × 2 = 1 + 0,999 879 317 603 735 306 24;
  • 46) 0,999 879 317 603 735 306 24 × 2 = 1 + 0,999 758 635 207 470 612 48;
  • 47) 0,999 758 635 207 470 612 48 × 2 = 1 + 0,999 517 270 414 941 224 96;
  • 48) 0,999 517 270 414 941 224 96 × 2 = 1 + 0,999 034 540 829 882 449 92;
  • 49) 0,999 034 540 829 882 449 92 × 2 = 1 + 0,998 069 081 659 764 899 84;
  • 50) 0,998 069 081 659 764 899 84 × 2 = 1 + 0,996 138 163 319 529 799 68;
  • 51) 0,996 138 163 319 529 799 68 × 2 = 1 + 0,992 276 326 639 059 599 36;
  • 52) 0,992 276 326 639 059 599 36 × 2 = 1 + 0,984 552 653 278 119 198 72;
  • 53) 0,984 552 653 278 119 198 72 × 2 = 1 + 0,969 105 306 556 238 397 44;
  • 54) 0,969 105 306 556 238 397 44 × 2 = 1 + 0,938 210 613 112 476 794 88;
  • 55) 0,938 210 613 112 476 794 88 × 2 = 1 + 0,876 421 226 224 953 589 76;
  • 56) 0,876 421 226 224 953 589 76 × 2 = 1 + 0,752 842 452 449 907 179 52;
  • 57) 0,752 842 452 449 907 179 52 × 2 = 1 + 0,505 684 904 899 814 359 04;
  • 58) 0,505 684 904 899 814 359 04 × 2 = 1 + 0,011 369 809 799 628 718 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 496 57(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 496 57(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 496 57(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11(2) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11(2) × 20 =

1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 =

0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 496 57 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 495 77 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100