-0,016 738 891 601 562 497 15 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 497 15(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 497 15(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 497 15| = 0,016 738 891 601 562 497 15


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 497 15.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 497 15 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 124 994 3;
  • 2) 0,033 477 783 203 124 994 3 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 249 988 6;
  • 3) 0,066 955 566 406 249 988 6 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 499 977 2;
  • 4) 0,133 911 132 812 499 977 2 × 2 = 0 + 0,267 822 265 624 999 954 4;
  • 5) 0,267 822 265 624 999 954 4 × 2 = 0 + 0,535 644 531 249 999 908 8;
  • 6) 0,535 644 531 249 999 908 8 × 2 = 1 + 0,071 289 062 499 999 817 6;
  • 7) 0,071 289 062 499 999 817 6 × 2 = 0 + 0,142 578 124 999 999 635 2;
  • 8) 0,142 578 124 999 999 635 2 × 2 = 0 + 0,285 156 249 999 999 270 4;
  • 9) 0,285 156 249 999 999 270 4 × 2 = 0 + 0,570 312 499 999 998 540 8;
  • 10) 0,570 312 499 999 998 540 8 × 2 = 1 + 0,140 624 999 999 997 081 6;
  • 11) 0,140 624 999 999 997 081 6 × 2 = 0 + 0,281 249 999 999 994 163 2;
  • 12) 0,281 249 999 999 994 163 2 × 2 = 0 + 0,562 499 999 999 988 326 4;
  • 13) 0,562 499 999 999 988 326 4 × 2 = 1 + 0,124 999 999 999 976 652 8;
  • 14) 0,124 999 999 999 976 652 8 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 953 305 6;
  • 15) 0,249 999 999 999 953 305 6 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 906 611 2;
  • 16) 0,499 999 999 999 906 611 2 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 813 222 4;
  • 17) 0,999 999 999 999 813 222 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 626 444 8;
  • 18) 0,999 999 999 999 626 444 8 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 252 889 6;
  • 19) 0,999 999 999 999 252 889 6 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 505 779 2;
  • 20) 0,999 999 999 998 505 779 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 997 011 558 4;
  • 21) 0,999 999 999 997 011 558 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 994 023 116 8;
  • 22) 0,999 999 999 994 023 116 8 × 2 = 1 + 0,999 999 999 988 046 233 6;
  • 23) 0,999 999 999 988 046 233 6 × 2 = 1 + 0,999 999 999 976 092 467 2;
  • 24) 0,999 999 999 976 092 467 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 952 184 934 4;
  • 25) 0,999 999 999 952 184 934 4 × 2 = 1 + 0,999 999 999 904 369 868 8;
  • 26) 0,999 999 999 904 369 868 8 × 2 = 1 + 0,999 999 999 808 739 737 6;
  • 27) 0,999 999 999 808 739 737 6 × 2 = 1 + 0,999 999 999 617 479 475 2;
  • 28) 0,999 999 999 617 479 475 2 × 2 = 1 + 0,999 999 999 234 958 950 4;
  • 29) 0,999 999 999 234 958 950 4 × 2 = 1 + 0,999 999 998 469 917 900 8;
  • 30) 0,999 999 998 469 917 900 8 × 2 = 1 + 0,999 999 996 939 835 801 6;
  • 31) 0,999 999 996 939 835 801 6 × 2 = 1 + 0,999 999 993 879 671 603 2;
  • 32) 0,999 999 993 879 671 603 2 × 2 = 1 + 0,999 999 987 759 343 206 4;
  • 33) 0,999 999 987 759 343 206 4 × 2 = 1 + 0,999 999 975 518 686 412 8;
  • 34) 0,999 999 975 518 686 412 8 × 2 = 1 + 0,999 999 951 037 372 825 6;
  • 35) 0,999 999 951 037 372 825 6 × 2 = 1 + 0,999 999 902 074 745 651 2;
  • 36) 0,999 999 902 074 745 651 2 × 2 = 1 + 0,999 999 804 149 491 302 4;
  • 37) 0,999 999 804 149 491 302 4 × 2 = 1 + 0,999 999 608 298 982 604 8;
  • 38) 0,999 999 608 298 982 604 8 × 2 = 1 + 0,999 999 216 597 965 209 6;
  • 39) 0,999 999 216 597 965 209 6 × 2 = 1 + 0,999 998 433 195 930 419 2;
  • 40) 0,999 998 433 195 930 419 2 × 2 = 1 + 0,999 996 866 391 860 838 4;
  • 41) 0,999 996 866 391 860 838 4 × 2 = 1 + 0,999 993 732 783 721 676 8;
  • 42) 0,999 993 732 783 721 676 8 × 2 = 1 + 0,999 987 465 567 443 353 6;
  • 43) 0,999 987 465 567 443 353 6 × 2 = 1 + 0,999 974 931 134 886 707 2;
  • 44) 0,999 974 931 134 886 707 2 × 2 = 1 + 0,999 949 862 269 773 414 4;
  • 45) 0,999 949 862 269 773 414 4 × 2 = 1 + 0,999 899 724 539 546 828 8;
  • 46) 0,999 899 724 539 546 828 8 × 2 = 1 + 0,999 799 449 079 093 657 6;
  • 47) 0,999 799 449 079 093 657 6 × 2 = 1 + 0,999 598 898 158 187 315 2;
  • 48) 0,999 598 898 158 187 315 2 × 2 = 1 + 0,999 197 796 316 374 630 4;
  • 49) 0,999 197 796 316 374 630 4 × 2 = 1 + 0,998 395 592 632 749 260 8;
  • 50) 0,998 395 592 632 749 260 8 × 2 = 1 + 0,996 791 185 265 498 521 6;
  • 51) 0,996 791 185 265 498 521 6 × 2 = 1 + 0,993 582 370 530 997 043 2;
  • 52) 0,993 582 370 530 997 043 2 × 2 = 1 + 0,987 164 741 061 994 086 4;
  • 53) 0,987 164 741 061 994 086 4 × 2 = 1 + 0,974 329 482 123 988 172 8;
  • 54) 0,974 329 482 123 988 172 8 × 2 = 1 + 0,948 658 964 247 976 345 6;
  • 55) 0,948 658 964 247 976 345 6 × 2 = 1 + 0,897 317 928 495 952 691 2;
  • 56) 0,897 317 928 495 952 691 2 × 2 = 1 + 0,794 635 856 991 905 382 4;
  • 57) 0,794 635 856 991 905 382 4 × 2 = 1 + 0,589 271 713 983 810 764 8;
  • 58) 0,589 271 713 983 810 764 8 × 2 = 1 + 0,178 543 427 967 621 529 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 497 15(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 497 15(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 497 15(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11(2) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 11(2) × 20 =

1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 =

0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 497 15 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 496 62 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100