-0,016 738 891 601 562 501 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 501 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 501 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 501 7| = 0,016 738 891 601 562 501 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 501 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 501 7 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 125 003 4;
  • 2) 0,033 477 783 203 125 003 4 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 250 006 8;
  • 3) 0,066 955 566 406 250 006 8 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 500 013 6;
  • 4) 0,133 911 132 812 500 013 6 × 2 = 0 + 0,267 822 265 625 000 027 2;
  • 5) 0,267 822 265 625 000 027 2 × 2 = 0 + 0,535 644 531 250 000 054 4;
  • 6) 0,535 644 531 250 000 054 4 × 2 = 1 + 0,071 289 062 500 000 108 8;
  • 7) 0,071 289 062 500 000 108 8 × 2 = 0 + 0,142 578 125 000 000 217 6;
  • 8) 0,142 578 125 000 000 217 6 × 2 = 0 + 0,285 156 250 000 000 435 2;
  • 9) 0,285 156 250 000 000 435 2 × 2 = 0 + 0,570 312 500 000 000 870 4;
  • 10) 0,570 312 500 000 000 870 4 × 2 = 1 + 0,140 625 000 000 001 740 8;
  • 11) 0,140 625 000 000 001 740 8 × 2 = 0 + 0,281 250 000 000 003 481 6;
  • 12) 0,281 250 000 000 003 481 6 × 2 = 0 + 0,562 500 000 000 006 963 2;
  • 13) 0,562 500 000 000 006 963 2 × 2 = 1 + 0,125 000 000 000 013 926 4;
  • 14) 0,125 000 000 000 013 926 4 × 2 = 0 + 0,250 000 000 000 027 852 8;
  • 15) 0,250 000 000 000 027 852 8 × 2 = 0 + 0,500 000 000 000 055 705 6;
  • 16) 0,500 000 000 000 055 705 6 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 111 411 2;
  • 17) 0,000 000 000 000 111 411 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 222 822 4;
  • 18) 0,000 000 000 000 222 822 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 445 644 8;
  • 19) 0,000 000 000 000 445 644 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 891 289 6;
  • 20) 0,000 000 000 000 891 289 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 782 579 2;
  • 21) 0,000 000 000 001 782 579 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 565 158 4;
  • 22) 0,000 000 000 003 565 158 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 130 316 8;
  • 23) 0,000 000 000 007 130 316 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 260 633 6;
  • 24) 0,000 000 000 014 260 633 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 028 521 267 2;
  • 25) 0,000 000 000 028 521 267 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 057 042 534 4;
  • 26) 0,000 000 000 057 042 534 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 114 085 068 8;
  • 27) 0,000 000 000 114 085 068 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 228 170 137 6;
  • 28) 0,000 000 000 228 170 137 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 456 340 275 2;
  • 29) 0,000 000 000 456 340 275 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 912 680 550 4;
  • 30) 0,000 000 000 912 680 550 4 × 2 = 0 + 0,000 000 001 825 361 100 8;
  • 31) 0,000 000 001 825 361 100 8 × 2 = 0 + 0,000 000 003 650 722 201 6;
  • 32) 0,000 000 003 650 722 201 6 × 2 = 0 + 0,000 000 007 301 444 403 2;
  • 33) 0,000 000 007 301 444 403 2 × 2 = 0 + 0,000 000 014 602 888 806 4;
  • 34) 0,000 000 014 602 888 806 4 × 2 = 0 + 0,000 000 029 205 777 612 8;
  • 35) 0,000 000 029 205 777 612 8 × 2 = 0 + 0,000 000 058 411 555 225 6;
  • 36) 0,000 000 058 411 555 225 6 × 2 = 0 + 0,000 000 116 823 110 451 2;
  • 37) 0,000 000 116 823 110 451 2 × 2 = 0 + 0,000 000 233 646 220 902 4;
  • 38) 0,000 000 233 646 220 902 4 × 2 = 0 + 0,000 000 467 292 441 804 8;
  • 39) 0,000 000 467 292 441 804 8 × 2 = 0 + 0,000 000 934 584 883 609 6;
  • 40) 0,000 000 934 584 883 609 6 × 2 = 0 + 0,000 001 869 169 767 219 2;
  • 41) 0,000 001 869 169 767 219 2 × 2 = 0 + 0,000 003 738 339 534 438 4;
  • 42) 0,000 003 738 339 534 438 4 × 2 = 0 + 0,000 007 476 679 068 876 8;
  • 43) 0,000 007 476 679 068 876 8 × 2 = 0 + 0,000 014 953 358 137 753 6;
  • 44) 0,000 014 953 358 137 753 6 × 2 = 0 + 0,000 029 906 716 275 507 2;
  • 45) 0,000 029 906 716 275 507 2 × 2 = 0 + 0,000 059 813 432 551 014 4;
  • 46) 0,000 059 813 432 551 014 4 × 2 = 0 + 0,000 119 626 865 102 028 8;
  • 47) 0,000 119 626 865 102 028 8 × 2 = 0 + 0,000 239 253 730 204 057 6;
  • 48) 0,000 239 253 730 204 057 6 × 2 = 0 + 0,000 478 507 460 408 115 2;
  • 49) 0,000 478 507 460 408 115 2 × 2 = 0 + 0,000 957 014 920 816 230 4;
  • 50) 0,000 957 014 920 816 230 4 × 2 = 0 + 0,001 914 029 841 632 460 8;
  • 51) 0,001 914 029 841 632 460 8 × 2 = 0 + 0,003 828 059 683 264 921 6;
  • 52) 0,003 828 059 683 264 921 6 × 2 = 0 + 0,007 656 119 366 529 843 2;
  • 53) 0,007 656 119 366 529 843 2 × 2 = 0 + 0,015 312 238 733 059 686 4;
  • 54) 0,015 312 238 733 059 686 4 × 2 = 0 + 0,030 624 477 466 119 372 8;
  • 55) 0,030 624 477 466 119 372 8 × 2 = 0 + 0,061 248 954 932 238 745 6;
  • 56) 0,061 248 954 932 238 745 6 × 2 = 0 + 0,122 497 909 864 477 491 2;
  • 57) 0,122 497 909 864 477 491 2 × 2 = 0 + 0,244 995 819 728 954 982 4;
  • 58) 0,244 995 819 728 954 982 4 × 2 = 0 + 0,489 991 639 457 909 964 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 501 7(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 501 7(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 501 7(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00(2) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00(2) × 20 =

1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 =

0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 501 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 501 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100